Arccotangens

De arccotangens, aangeduid door arccot, is een cyclometrische functie die de inverse functie is van de cotangens indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval ${\displaystyle (0,\pi )}$. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de cotangens. Het resultaat van de arccotangens is de hoek tussen 0 en ${\displaystyle \pi }$ waarvan de cotangens het argument als waarde heeft.

De grafiek van ${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cotangens ten opzichte van de rechte y = x. Het domein is ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en het bereik is ${\displaystyle (0,\pi )}$.

Definitie

De functie ${\displaystyle \operatorname {arccot} }$ is gedefinieerd voor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ door de relatie

${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)=\alpha \quad \Leftrightarrow \quad 0\leq \alpha <\pi {\mbox{ en }}\cot(\alpha )=x}$

Vanwege de relatie tussen de tangens en de cotangens geldt:

${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)+\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}}$

Machtreeks

De arccotangens heeft de volgende reeksontwikkeling:

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}$

Afgeleide

De afgeleide van de arccotangens is:

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\operatorname {arccot}(x)=-{1 \over 1+x^{2}}}$