In de wiskunde zijn de euler-polynomen de polynomen , impliciet gedefinieerd door hun voortbrengende functie:
De eerste 7 zijn:
| |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
Recursieve definitie
De polynomen kunnen ook recursief gedefinieerd worden door:
en voor
Eigenschappen
Euler-polynomen zijn, afgezien van het teken, symmetrisch om het punt , d.w.z.:
Voor de waarden in de punten en geldt:
- Fout bij het parsen (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle {\rm E}_n(\tfrac 12) = 2^{-n} E_n}
en
waarin de eulergetallen zijn en de bernoulli-getallen.
Er geldt de identiteit:
Voor heeft de Euler-polynoom minder dan reële nulpunten. Weliswaar heeft 5 nulpunten, waarvan er 2 dubbel zijn, maar heeft slechts de twee (triviale) nulpunten 0 en 1.