Isotomische verwantschap

.

In een driehoek ${\displaystyle ABC}$ heten twee punten ${\displaystyle P_{1}}$ en ${\displaystyle P_{2}}$ isotomisch verwant als voor hun Ceva-driehoeken ${\displaystyle X_{1}Y_{1}Z_{1}}$ en ${\displaystyle X_{2}Y_{2}Z_{2}}$ geldt (zie de figuur rechts):

${\displaystyle AZ_{1}=BZ_{2},BX_{1}=CX_{2},CY_{2}=AY_{1}}$

Ieder punt ${\displaystyle P}$ dat niet op een zijde van een driehoek ligt, heeft volgens de stelling van Ceva een isotomisch verwant punt. Als ${\displaystyle P}$ op Steiners omgeschreven ellips van de driehoek ligt, dan ligt het isotomisch verwante punt van ${\displaystyle P}$ op de oneindig verre rechte.

Enkele bijzondere punten van een driehoek die isotomisch verwant zijn:

• het zwaartepunt met zichzelf;
• het punt van Gergonne en het punt van Nagel.

Isotomische verwantschap kan als een involutie ${\displaystyle \tau }$ worden opgevat. In barycentrische coördinaten wordt de involutie gegeven door:

${\displaystyle \tau :(x:y:z)\mapsto \left(yz:xz:xy\right)}$

Een rechte lijn wordt op een kegelsnede door de hoekpunten van een driehoek afgebeeld; namelijk op:

• een ellips, als de lijn Steiners omgeschreven ellips niet snijdt,
• een parabool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips raakt,
• een hyperbool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips snijdt .

• Bij uitbreiding wordt wel gezegd dat elk hoekpunt van een driehoek isotomisch verwant is met elk punt van de overstaande zijde.
• Isogonale verwantschap bij een driehoek legt een verband tussen twee punten, waarbij een gelijkheid tussen hoeken geldt.