Bez straty ogólności

Bez straty ogólności (rzadziej bez utraty ogólności, czasami skracane do b.s.o.) jest często używanym wyrażeniem w matematyce. Termin ten jest wykorzystywany do wskazania, że następujące założenie jest wybrane arbitralnie, zawężając dowodzenie twierdzenia do konkretnego przypadku, ale nie wpływa ono na ważność dowodu w ogóle. Pozostałe przypadki są na tyle podobne do wybranego, że ich dowód jest bardzo podobny lub są one z wybranym równoważne^[1]. W rezultacie po przedstawieniu dowodu w jednym, konkretnym przypadku pozostałe stają się trywialne.

Często użycie „bez utraty ogólności” jest możliwe dzięki symetrii^[2]. Na przykład, jeśli wiadomo, że jakaś własność P(x, y) liczb rzeczywistych jest symetryczna, czyli P(x, y) jest równoważna P(y, x), to w dowodzie, że własność P(x, y) jest prawdziwa dla każdego x i y, można „bez utraty ogólności” założyć, że x ≤ y. Takie przejście jest uprawnione, ponieważ jeżeli udowodniony został przypadek x ≤ y ⇒ P (x, y), to dzięki symetrii prawdziwy jest też drugi przypadek, który otrzymujemy poprzez zamianę x i y: y ≤ x ⇒ P(y, x), pokazując tym samym, że własność P(x, y) jest prawdziwa we wszystkich przypadkach.

Z drugiej strony, jeśli takiej symetrii (lub innej formy równoważności) nie można stwierdzić, to użycie „bez utraty ogólności” jest nieuprawnione i może prowadzić do błędów poprzez wyciąganie wniosków o całości z konkretnych przypadków^[3].

Rozważmy następujące twierdzenie (będące zastosowaniem zasady szufladkowej Dirichleta):

Dowód:

Powyższy rozumowanie jest poprawne, ponieważ dokładnie takie samo rozumowanie można by zastosować, gdyby przyjęto przeciwne założenie (pierwszy przedmiot jest niebieski). Słowa „czerwony” i „niebieski” można swobodnie zamieniać w sformułowaniu dowodu. W rezultacie zastosowanie „bez utraty ogólności” jest w tym przypadku uprawnione.