Schematyczne przedstawienie funkcji delta Diraca za pomocą linii zwieńczonej strzałką. Wysokość strzałki zwykle oznacza wartość dowolnej stałej multiplikatywnej, która daje obszar pod funkcją. Inną konwencją jest zapisywanie obszaru obok grotu strzałki.
Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.
Definicje
Delta Diraca jako granica (w sensie dystrybucji) ciągu rozkładów normalnych z środkiem w , dla , opisanych funkcjami
Definicja nieformalna
Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję taką, że[1]:
W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji[2].
Delta Diraca jako dystrybucja
Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:
Całkę funkcji względem miary po zbiorze oznacza się często [5], dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie na całkę funkcji względem delty Diraca po
Delta Diraca ma następujące własności:
Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.
Krok I
Gdy jest funkcją prostą, tzn. to bez straty ogólności możemy założyć, że Wtedy
Krok II
Gdy jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych Wtedy korzystając z poprzedniego kroku
Krok III
Gdy jest dowolną funkcją mierzalną, to gdzie
oraz
Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku
co kończy dowód.
W szczególności kładąc otrzymuje się
Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę daną wzorem
Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.