Delta Diraca

Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a ${\displaystyle F(s)=1}$ i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.

Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję ${\displaystyle \delta \colon \mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}}$ taką, że^[1]:

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\+\infty ,&x=0\end{cases}}}$

oraz

${\displaystyle {}\,\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\delta (x)\;dx}=1}$^[2].

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji^[2].

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję ${\displaystyle \delta \colon C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,}$ tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:

${\displaystyle \delta (f):=f(0)}$^[3].

 Zobacz też: Teoria dystrybucji.

Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę ${\displaystyle \delta \colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {\overline {R}} _{+}}$ daną wzorem:

${\displaystyle \delta (A):={\begin{cases}1,&0\in A\\0,&0\notin A\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[4].

Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca.

 Zobacz też: Całka Lebesgue’a.

Całkę funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu }$ po zbiorze ${\displaystyle A}$ oznacza się często ${\displaystyle \int _{A}f(x)\mu ({\text{d}}x)}$^[5], dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)}$ na całkę funkcji ${\displaystyle f}$ względem delty Diraca po ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Delta Diraca ma następujące własności:

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=f(0),}$
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}}x)=1.}$

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

Krok I

Gdy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ jest funkcją prostą, tzn. ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{A_{i}},}$ to bez straty ogólności możemy założyć, że ${\displaystyle 0\in A_{j},\ 1\leqslant j\leqslant n.}$ Wtedy

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\int _{\mathbb {R} }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{A_{i}}(x)\delta ({\text{d}}x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\delta (A_{i})=c_{j}=f(0).}$

Krok II

Gdy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych ${\displaystyle (f_{n})_{n}.}$ Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f_{n}(x)\delta ({\text{d}}x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(0)=f(0).}$

Krok III

Gdy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest dowolną funkcją mierzalną, to ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-},}$ gdzie

${\displaystyle f_{+}(x):={\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant 0\\0,&f(x)<0\end{cases}},}$

oraz

${\displaystyle f_{-}(x):={\begin{cases}-f(x),&f(x)<0\\0,&f(x)\geqslant 0\end{cases}}.}$

Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\int _{\mathbb {R} }f_{+}(x)\delta ({\text{d}}x)-\int _{\mathbb {R} }f_{-}(x)\delta ({\text{d}}x)=f_{+}(0)-f_{-}(0)=f(0),}$

co kończy dowód.

W szczególności kładąc ${\displaystyle f\equiv 1}$ otrzymuje się

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}}x)=1.}$

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę ${\displaystyle \delta _{a}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{+}}$ daną wzorem

${\displaystyle \delta _{a}(A):={\begin{cases}1,&a\in A\\0,&a\notin A\end{cases}}.}$^[4]

Wówczas

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta _{a}({\text{d}}x)=f(a).}$

W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca ${\displaystyle \delta _{a}}$ jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ takiej, że ${\displaystyle P(X=a)=1}$^[4].

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili ${\displaystyle t=0,}$ o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

• funkcja grzebieniowa