Elementy minimalny i maksymalny

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym ( P , ⩽ ) {\displaystyle (P,\leqslant )} nazywamy każdy taki element x , {\displaystyle x,} że nie ma w P {\displaystyle P} elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

∀ y ∈ P : y ⩽ x ⇒ x = y . {\displaystyle \forall y\in P:y\leqslant x\Rightarrow x=y.}

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym ( P , ⩽ ) {\displaystyle (P,\leqslant )} nazywamy każdy taki element x , {\displaystyle x,} że nie ma w P {\displaystyle P} elementów większych od niego. Symbolicznie:

∀ y ∈ P : x ⩽ y ⇒ x = y . {\displaystyle \forall y\in P:x\leqslant y\Rightarrow x=y.}

Uwagi

  • W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
  • Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

Przykłady

  • Rozważmy zbiór N {\displaystyle \mathbb {N} } ∪ {\displaystyle \cup } { − 1 } , {\displaystyle \{-1\},} gdzie N {\displaystyle \mathbb {N} } oznacza zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3,...}, a relacja ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } częściowego porządku określona jest następująco:
a ≼ b ⟺ ( a ⩽ b , a , b ∈ N ∨ a = b = − 1 ) {\displaystyle a\preccurlyeq b\iff (a\leqslant b,\,a,b\in \mathbb {N} \,\lor \,a=b=-1)}
Z definicji wynika m.in., że − 1 ≼ − 1 , 3 ≼ 7 {\displaystyle -1\preccurlyeq -1,\,\,3\preccurlyeq 7}   i nieprawda, że np. − 1 ≼ 2. {\displaystyle -1\preccurlyeq 2.}
Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są −1 oraz 1. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.
  • W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:
„Białka” < „Dunajec” < „Wisła”
„Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”
„Noteć” < „Warta” < „Odra”
„Moskwa” < „Oka” < „Wołga”
„Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).
Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

Zobacz też