Funkcja Żukowskiego

Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej ${\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\ni \zeta \to z\in \mathbb {C} }$ określona wzorem:

${\displaystyle z=\lambda (\zeta )={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\zeta +{\frac {1}{\zeta }}{\Bigg )}.}$

Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$ punkt ${\displaystyle z=x+iy}$ można określić następująco

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\zeta +{\frac {1}{\zeta }}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\chi +i\eta +{\frac {(\chi -i\eta )}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}+i{\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}{\Bigg )}.\end{aligned}}}$

Zatem jej część rzeczywista jest równa ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}{\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}},}$ a część urojona jest równa ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.}$

W obszarze ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:

${\displaystyle z'=\lambda '(\zeta )={\frac {1}{2}}{\Bigg (}1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\Bigg )}.}$

Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski^[1][2]. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie ${\displaystyle \zeta =1.}$ Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.

Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej^[3]. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i ${\displaystyle \infty }$^[3].

Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka ${\displaystyle -1\leqslant z\leqslant +1}$ (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi ${\displaystyle |\zeta |=r}$ są odwzorowywane na elipsy o ogniskach ${\displaystyle \pm 1}$ i półosiach ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\Bigg |}r\pm {\frac {1}{r}}{\Bigg |},}$ a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni ${\displaystyle z=\pm r(\cos \alpha \pm i\;\sin \alpha )}$ dla ${\displaystyle 0\leqslant r<1}$ są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach ${\displaystyle \pm 1}$ i półosiach ${\displaystyle |\cos \alpha |,|\sin \alpha |}$ z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol^[4].

Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.

${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,\quad {\text{co daje}}\quad \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$

Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\chi (1+1)}{1}}{\Bigg )}=\chi ,}$ a część urojona ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\eta (1-1)}{1}}{\Bigg )}=0.}$

Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział ${\displaystyle \langle -1;1\rangle }$ osi liczb rzeczywistych.

Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.

W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.

${\displaystyle z=f(\zeta )=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}=S_{3}(S_{2}(S_{1}(\zeta ))),}$

gdzie:

${\displaystyle S_{3}(u)=2{\frac {1+u}{1-u}},}$

${\displaystyle S_{2}(v)=v^{2},}$

${\displaystyle S_{1}(w)={\frac {w-1}{w+1}},}$

czyli

${\displaystyle z=2{\frac {1+\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}}{1-\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}}}=2{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}}.}$

Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}\,={\frac {1}{\zeta }}\left(\zeta +1\right)^{2},\\z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}\,={\frac {1}{\zeta }}\left(\zeta -1\right)^{2}\end{aligned}}}$

oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

Rozwiązując to równanie względem ${\displaystyle z}$ uzyskuje się:

${\displaystyle z=2{\frac {\left(\zeta +1\right)^{2}+\left(\zeta -1\right)^{2}}{\left(\zeta +1\right)^{2}-\left(\zeta -1\right)^{2}}}=2{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}}.}$

Przekształcenie Kármána-Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána-Trefftza – który jest obrazem przekształcenia okręgu z ${\displaystyle \varsigma }$-płaszczyzny w fizycznej ${\displaystyle z}$-płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego – ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána-Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta ${\displaystyle \alpha }$ w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem^[5]:

${\displaystyle z=n{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}},}$

gdzie parametr ${\displaystyle n}$ jest nieco mniejszy od 2. Kąt ${\displaystyle \alpha ,}$ między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z ${\displaystyle n}$ następująco^[5]:

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi \quad {\text{ i }}\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

Pochodna ${\displaystyle dz/d\zeta ,}$ potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$