Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ nad tym samym ciałem ${\displaystyle K}$ to para ${\displaystyle (Z,\otimes ),}$ gdzie ${\displaystyle Z}$ to przestrzeń liniowa nad ciałem ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to Z}$ to przekształcenie dwuliniowe dane wzorem ${\displaystyle (v,w)\mapsto v\otimes w,}$ które nazywamy iloczynem tensorowym, przy czym spełniona jest tzw. własność uniwersalności. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu.

Definicja

Niech ${\displaystyle V,W}$ będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi. Przestrzeń liniową ${\displaystyle Z}$ wraz z przekształceniem dwuliniowym ${\displaystyle \theta \colon V\times W\to Z}$ nazwiemy iloczynem tensorowym przestrzeni ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W,}$ jeżeli^[1] :

(1) Obraz ${\displaystyle \theta (V\times W)}$ rozpina przestrzeń ${\displaystyle Z.}$

(2) Dla każdego przekształcenia dwuliniowego ${\displaystyle \varphi \colon V\times W\to U}$ (w dowolną przestrzeń liniową ${\displaystyle U}$) istnieje przekształcenie liniowe ${\displaystyle \lambda \colon Z\to U}$ takie, że ${\displaystyle \varphi =\lambda \circ \theta .}$

Przestrzeń liniową ${\displaystyle Z}$ oznaczamy ${\displaystyle V\otimes W,}$ a przekształcenie ${\displaystyle \theta }$ oznaczamy ${\displaystyle \otimes }$ i nazywamy iloczynem tensorowym.

Innymi słowy, iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych to jedyna z dokładnością do izomorfizmu taka przestrzeń liniowa ${\displaystyle Z}$ wraz z przekształceniem dwuliniowym ${\displaystyle \theta ,}$ że poniższy diagram jest przemienny.

Tę własność iloczynu tensorowego nazywa się własnością uniwersalności.

Konstrukcja iloczynu tensorowego

Definicja iloczynu tensorowego jest niekonstruktywna i nie rozstrzyga, czy iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych w ogóle istnieje. Okazuje się, że iloczyn tensorowy dowolnych przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ istnieje i może zostać skonstruowany w następujący sposób^[1] [2] . Niech ${\displaystyle Y:=\bigoplus _{V\times W}K}$ będzie przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K}$ generowaną przez ${\displaystyle V\times W}$. Elementami ${\displaystyle Y}$ są funkcje postaci ${\displaystyle f\colon V\times W\to K}$ o skończonym nośniku (tzn. przyjmujące niezerowe wartości tylko dla skończonej liczby par ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$). W ${\displaystyle Y}$ dla dowolnych ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V,\ w,w_{1},w_{2}\in W,\ \alpha ,\beta \in K}$ wybieramy podprzestrzeń liniową ${\displaystyle X}$ rozpiętą przez funkcje postaci

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)},}$

${\displaystyle \delta _{(\alpha v,w)}-\alpha \delta _{(v,w)},}$

${\displaystyle \delta _{(v,w_{1}+w_{2})}-\delta _{(v,w_{1})}-\delta _{(v,w_{2})},}$

${\displaystyle \delta _{(v,\beta w)}-\beta \delta _{(v,w)},}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{(a,b)}\in Y}$ dla ${\displaystyle (a,b)\in V\times W}$ to funkcja dana wzorem

${\displaystyle \delta _{(a,b)}(v,w):={\begin{cases}1,&\mathrm {gdy} \ (v,w)=(a,b),\\0,&\mathrm {gdy} \ (v,w)\neq (a,b).\end{cases}}}$

Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle V\otimes W:=Y/X}$ wraz z działaniem danym wzorem

${\displaystyle v\otimes w:=\delta _{(v,w)}+X}$

jest iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W.}$

Uwagi do konstrukcji

(1) Powyższa konstrukcja jest standardową konstrukcją iloczynu tensorowego i bardzo często jest podawana jako definicja.

(2) Funkcje ${\displaystyle \delta _{(a,b)}}$ są najczęściej oznaczane ${\displaystyle (a,b)}$ i utożsamiane z ${\displaystyle (a,b)\in V\times W.}$

(3) ${\displaystyle v\otimes w=\delta _{(v,w)}+X}$ jest zbiorem, elementem rodziny zbiorów ${\displaystyle Y/X.}$

(4) ${\displaystyle Y:=\bigoplus _{V\times W}K}$ nie jest dobrym kandydatem na iloczyn tensorowy ${\displaystyle V\otimes W,}$ gdyż jest przestrzenią liniową nieskończenie wiele wymiarową nawet gdy ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$ są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi. Jest więc zdecydowanie zbyt bogata na nasze potrzeby, chcemy bowiem, aby ${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.}$

(5) ${\displaystyle v\otimes w:=\delta _{(v,w)}}$ jest kandydatem na iloczyn tensorowy. Niestety tak zdefiniowany iloczyn tensorowy nie byłby działaniem dwuliniowym, gdyż np.

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}\neq \delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}.}$

(6) Chcielibyśmy, aby zachodziły równości

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)},}$

${\displaystyle \delta _{(\alpha v,w)}=\alpha \delta _{(v,w)}}$

itd. Zachodzenie tych równości można wymusić, biorąc odpowiednią przestrzeń ilorazową ${\displaystyle B/A.}$

(7) Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli ${\displaystyle A}$ jest podmodułem modułu ${\displaystyle B,}$ to w module ilorazowym ${\displaystyle B/A:=\{x+A;\ x\in B\}}$ dla ${\displaystyle a\in A}$ mamy

${\displaystyle a+A=\{a+y;\ y\in A\}=\{y;\ y\in A\}=A=0+A,}$

czyli w module ilorazowym ${\displaystyle B/A}$ elementy ${\displaystyle A}$ są zlepione do zera.

(8) Równości

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}}$

itd. zachodzą w przestrzeni ilorazowej ${\displaystyle Y/X.}$ Istotnie, ponieważ

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)}\in X,}$

to w związku z tym co zostało powiedziane powyżej

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)}+X=0+X.}$

Innymi słowy

${\displaystyle \delta _{(v_{1}+v_{2},w)}+X=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}+X.}$

(9) W związku z powyższym ${\displaystyle \otimes }$ zdefiniowane wzorem

${\displaystyle v\otimes w:=\delta _{(v,w)}+X}$

jest już działaniem dwuliniowym, tak jak powinno być.

(10) Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest zdefiniowany niejednoznacznie i jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W związku z tym w konkretnych zastosowaniach iloczyn tensorowy może być skonstruowany inaczej niż w konstrukcji z poprzedniej sekcji, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ (patrz: Przykłady).

(11) W analogiczny sposób może zostać skonstruowany iloczyn tensorowy modułów.

Baza i wymiar iloczynu tensorowego

Jeżeli przestrzenie liniowe ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$ są skończeniewymiarowe, to ich bazy ${\displaystyle (v_{i})_{i=1}^{r},}$ ${\displaystyle (w_{i})_{i=1}^{s}}$ indukują bazę iloczynu ${\displaystyle V\otimes W}$ postaci

${\displaystyle \{v_{i}\otimes w_{j};\ i=1,\dots ,r,\ j=1,\dots ,s\}.}$

W szczególności wynika z tego, że każdy element ${\displaystyle t\in V\otimes W}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

${\displaystyle t=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{s}t_{i,j}v_{i}\otimes w_{j}}$

dla pewnych skalarów ${\displaystyle t_{i,j}.}$

Wynika z tego także, że jeżeli przestrzenie ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ są skończeniewymiarowe, to

${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.}$

Własności iloczynu tensorowego

(1) Przestrzenie liniowe ${\displaystyle V\otimes W}$ i ${\displaystyle W\otimes V}$ są naturalnie izomorficzne, tzn.

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V.}$

Jednakże ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$ dla ${\displaystyle v\neq w}$ już nawet, gdy ${\displaystyle V=W.}$ Wynika to z tego, że w ogólności

${\displaystyle \delta _{(v,w)}\neq \delta _{(w,v)}.}$

(2) Przestrzenie ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W}$ i ${\displaystyle U\otimes (V\otimes W)}$ są naturalnie izomorficzne. Pozwala to na pisanie po prostu ${\displaystyle U\otimes V\otimes W.}$

(3) Jeżeli ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ są skończeniewymiarowe, to

${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.}$

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ definiujemy w sposób indukcyjny

${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{n}:=(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{n-1})\otimes V_{n}.}$

Przykłady

Iloczyn tensorowy jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W konkretnych przypadkach iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych można skonstruować inaczej, niż to zostało pokazane w sekcji o konstrukcji iloczynu tensorowego, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych, co pokazują następujące przykłady.

(1) Niech ${\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{m},\ W:=\mathbb {C} ^{n}.}$ Iloczynem tensorowym ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ nazwiemy ${\displaystyle V\otimes W:=\mathbb {C} ^{m\cdot n}}$ z iloczynem zdefiniowanym następująco

${\displaystyle (v_{i})_{i=1}^{m}\otimes (w_{j})_{j=1}^{n}=(v_{1},\dots ,v_{m})\otimes (w_{1},\dots ,w_{n}):=(v_{i}\cdot w_{j})_{\stackrel {i=1,\dots ,m}{j=1,\dots ,n}}.}$

(2) W szczególności, gdy przykładowo ${\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{2},\ W:=\mathbb {C} ^{3},}$ to iloczynem tensorowym ${\displaystyle V\otimes W}$ jest ${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$ z iloczynem zdefiniowanym jako

${\displaystyle (v_{1},v_{2})\otimes (w_{1},w_{2},w_{3}):=(v_{1}w_{1},v_{2}w_{1},v_{1}w_{2},v_{2}w_{2},v_{1}w_{3},v_{2}w_{3})}$

lub też w zapisie kolumnowym

${\displaystyle (v_{1}\ v_{2})^{T}\otimes (w_{1}\ w_{2}\ w_{3})^{T}:=(v_{1}w_{1}\ v_{2}w_{1}\ v_{1}w_{2}\ v_{2}w_{2}\ v_{1}w_{3}\ v_{2}w_{3})^{T}.}$

(3) Niech ${\displaystyle S}$ będzie dowolnym zbiorem, a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ niech oznacza zbiór funkcji postaci ${\displaystyle f\colon S\to \mathbb {C} }$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo, tzn.

${\displaystyle (f+g)(s):=f(s)+g(s),\quad (\alpha \cdot f)(s):=\alpha \cdot f(s)}$

dla ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową.

Niech ${\displaystyle S,T}$ będą dowolnymi zbiorami. Iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{S}}$ i ${\displaystyle W:=\mathbb {C} ^{T}}$ definiujemy jako ${\displaystyle V\otimes W:=\mathbb {C} ^{S\times T}}$ z iloczynem zdefiniowanym wzorem

${\displaystyle (f\otimes g)(s,t):=f(s)\cdot g(t).}$

(4) (Iloczyn tensorowy form wieloliniowych) Niech ${\displaystyle U}$ będzie dowolną przestrzenią liniową. Niech ${\displaystyle T^{k}(U)}$ oznacza przestrzeń liniową form ${\displaystyle k}$-liniowych na ${\displaystyle U}$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo. Iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle V:=T^{k}(U)}$ i ${\displaystyle W:=T^{l}(U)}$ definiujemy jako ${\displaystyle V\otimes W:=T^{k+l}(U)}$ z iloczynem danym wzorem

${\displaystyle (S\otimes T)(u_{1},\dots ,u_{k},u_{k+1},\dots ,u_{k+l}):=S(u_{1},\dots ,u_{k})\cdot T(u_{k+1},\dots ,u_{k+l}).}$

Zobacz też

• moduł wolny generowany przez zbiór
• przestrzeń ilorazowa

Przypisy

Bibliografia

• L. Auslander, R.E. Mackenzie: Rozmaitości różniczkowalne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1970.

Linki zewnętrzne

• Clifford algebra, geometric algebra, and applications