Kompleks symplicjalny

Zbiór sympleksów ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nazywamy kompleksem symplicjalnym (geometrycznym w odróżnieniu od abstrakcyjnego kompleksu symplicjalnego), jeśli spełnione są następujące warunki^[1]:

1. Dowolna ściana sympleksu należącego do ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jest również elementem ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$

2. Przekrój dowolnych dwóch sympleksów ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$ jest zbiorem pustym lub ich wspólną ścianą.

Wymiar kompleksu symplicjalnego

Jeżeli kompleks ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ zawiera sympleks wymiaru ${\displaystyle n,}$ lecz nie zawiera sympleksu wymiaru większego, to liczbę ${\displaystyle n}$ nazywamy wymiarem kompleksu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ co oznaczamy ${\displaystyle \dim {\mathcal {K}}=n.}$ Natomiast gdy dla każdego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ kompleks ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ zawiera sympleks wymiaru większego niż ${\displaystyle n,}$ to mówimy, że ma wymiar nieskończony co oznaczamy ${\displaystyle \dim {\mathcal {K}}=+\infty .}$

Izomorfizm kompleksów symplicjalnych

Kompleksy symplicjalne ${\displaystyle {\mathcal {K}},{\mathcal {L}}}$ nazywamy izomorficznymi jeżeli istnieje odwzorowanie symplicjalne ${\displaystyle f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}}$ będące izomorifzmem.

Realizacja geometryczna kompleksu symplicjalnego

Każdy kompleks symplicjalny składa się ze zbioru sympleksów i wszystkie są podzbiorami pewnego ustalonego ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ złożony z punktów sympleksów ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ nazywamy jego nośnikiem i oznaczamy ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|.}$ Zbiór ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ w sposób naturalny dziedziczy topologię z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Jednak prowadzi to do sytuacji, w której dla izomorficznych kompleksów ich nośniki z tymi topologiami mogą nie być homeomorficzne jako przestrzenie topologiczne. Jest to zależne od tego, w jaki sposób zbiory te są położone w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Z tego względu zbiór ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ wyposaża się w topologię (zwaną słabą), w której bazę stanowią zbiory ${\displaystyle U\subseteq |{\mathcal {K}}|,}$ których przekrój z każdym sympleksem ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$ jest zbiorem otwartym w tym sympleksie. Zbiór ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ wraz z topologią słabą nazywamy realizacją geometryczną kompleksu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$^[1].

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Simplicial Complex, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2023-01-20]  (ang.).