Kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych
Kryterium Dirichleta – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci
Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Gustawa Dirichleta.
Kryterium
Niech i będą takimi ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie że
- istnieje taka liczba dodatnia że dla wszystkich liczb naturalnych oraz wszystkich elementów należących do
- dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do
Wówczas szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze
Istnieje wersja powyższego kryterium dla całek niewłaściwych, mianowicie kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych.
W przypadku, gdy jest monotonicznym ciągiem liczbowym zbieżnym do kryterium Dirichleta można uogólnić na szeregi w przestrzeniach Banacha. Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Dirichleta dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy jest zbiorem jednoelementowym).
Kryterium Dirichleta o zbieżności szeregów liczbowych
Osobny artykuł: Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych.
Jeżeli ciąg sum częściowych
szeregu liczbowego
jest ograniczony, a jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do to szereg
jest zbieżny.
Zobacz też
- kryteria zbieżności szeregów
- kryterium Abela
- kryterium Weierstrassa
- zbieżność monotoniczna
- zbieżność punktowa ciągu funkcji
Bibliografia
- Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 371.
- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185. ISBN 830232-1049-7.