Liczba Heegnera

Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa ${\displaystyle d,}$ taka że urojone ciało kwadratowe ${\displaystyle Q({\sqrt {-d}})}$ ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkład^[1].

Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas. Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb.

Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163^[2].

Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952^[3]. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967^[4]). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka^[5].

Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze

${\displaystyle n^{2}-n+41,}$

który daje różne liczby pierwsze dla ${\displaystyle n=1,\dots ,40,}$ jest związany z liczbą Heegnera ${\displaystyle 163=4\cdot 41-1.}$

Formuła Eulera dla ${\displaystyle n}$ przyjmującego wartości ${\displaystyle n=1,\dots ,40}$ jest równoważna z

${\displaystyle n^{2}+n+41,}$

dla ${\displaystyle n}$ przyjmującego wartości ${\displaystyle n=0,\dots ,39.}$ Rabinowitz^[6] udowodnił, że

${\displaystyle n^{2}+n+p}$

daje liczby pierwsze dla ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik ${\displaystyle 1-4p}$ jest równy ujemnej liczbie Heegnera.

Zauważmy, że dla ${\displaystyle p-1}$ mamy ${\displaystyle p^{2},}$ więc ${\displaystyle p-2}$ jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to: ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163,}$ dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla ${\displaystyle 2,3,5,11,17,41;}$ te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami Eulera^[7].

Stała Ramanujana jest liczbą przestępną ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}},}$ która jest niemal całkowita, to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743{,}99999\ 99999\ 9925\dots \approx 640\ 320^{3}+744.}$

Liczba ta została odkryta w 1859 przez Charles Hermite’a^[8] .

W 1975 w słynnym primaaprilisowym artykule w magazynie „Scientific American” publicysta „Mathematical Games” Martin Gardner podał dla żartu stwierdzenie^[9], że liczba ta w rzeczywistości jest całkowita, a przewidzieć to miał jakoby hinduski genialny matematyk Srinivasa Ramanujan i stąd wzięła się jej nazwa^[10].

Ten zbieg okoliczności wyjaśniono dzięki arytmetyce krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym (ang. complex multiplication) i formie modularnej ${\displaystyle j}$-niezmiennika.

Zwięźle ujmując ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)}$ jest całkowite dla ${\displaystyle d}$ będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744.}$

Jeśli ${\displaystyle \tau }$ jest kwadratowo niewymierne, wtedy ${\displaystyle j}$-niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia ${\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|,}$ liczba klas ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ ma liczbę klas równą 1 (więc ${\displaystyle d}$ jest liczbą Heegnera) ${\displaystyle j}$-niezmiennik jest liczbą całkowitą.

Forma modularna ${\displaystyle j}$ w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia ${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$ zaczyna się następująco:

${\displaystyle j(q)={\frac {1}{q}}+744+196\ 884q+\ldots }$

Współczynniki ${\displaystyle c_{n}}$ asymptotycznie rosną jak ${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n)),}$ a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż ${\displaystyle 200\ 000^{n},}$ więc dla ${\displaystyle q\ll 1/200\ 000,}$ ${\displaystyle j}$ jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$ otrzymujemy ${\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})}$ lub równoważne ${\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}}).}$ Teraz ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\ 320)^{3},}$ więc

${\displaystyle (-640\ 320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$

lub

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\ 320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),}$

gdzie wyrażenie liniowe błędu jest

${\displaystyle -196\ 884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 196\ 884/(640\ 320^{3}+744)\approx -0{,}00000\ 00000\ 0075,}$

co wyjaśnia dlaczego ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.

Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\ 320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\ 344\ 418k+13\ 591\ 409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\ 320)^{3k}}}}$

korzysta z faktu, że ${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640\ 320^{3}.}$

Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje^[a] są następujące:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\ 280^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\ 320^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}$

Alternatywnie

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}$

gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera ${\displaystyle d<19}$ nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet ${\displaystyle d=19}$ nie jest osobliwe. Całkowite ${\displaystyle j}$-niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci ${\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}.}$ Czynnikami są:

${\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\ 320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}\end{aligned}}}$

Te liczby przestępne, dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3^[11]:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}$

Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda ${\displaystyle \eta (\tau ),}$ pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia^[12].

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(-3+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12{,}00006\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(-39+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 0061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(-219+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00003\ 6\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(-26\ 679+2\ 413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00000\ 0000\ 021\dots \end{aligned}}}$

Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych ${\displaystyle n=3,9,21,231}$ oraz fakt, że

${\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-3^{2}+3\cdot 19\cdot 1^{2})=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-39^{2}+3\cdot 43\cdot 7^{2})=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-219^{2}+3\cdot 67\cdot 31^{2})=5280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-26\ 679^{2}+3\cdot 163\cdot 2413^{2})=640\ 320^{2}\end{aligned}}}$

z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie ${\displaystyle j}$-niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00001\ 0\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 0010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 61\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle x}$ są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia

${\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\ 320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}$

z ponownie pojawiającymi się ${\displaystyle j}$-niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach, ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ (z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami ${\displaystyle \eta }$ Dedekinda. Dla przykładu niech ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2,}$ wtedy

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}00000\ 00000\ 00001\ 05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}00000\ 00000\ 00000\ 21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}$

gdzie ilorazy ${\displaystyle \eta }$ są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.

Dla danej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ jeśli obliczymy ${\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}$ dla ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}$ (to jest wystarczające, bo ${\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}$), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p}$ jest liczbą Heegnera^[13].

• John D. Barrow: The Constants of Nature. Londyn: Jonathan Cape, 2002. ISBN 0-224-06135-6. (ang.).
• John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.).
• Martin Gardner. Mathematical Games. „Scientific American”. 232 (4), kwiecień 1975. Scientific American, Inc. DOI: 10.1038/scientificamerican0475-126. ISSN 0036-8733. (ang.). 
• Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI: 10.1007/BF01174749. (niem.). 
• François Le Lionnais: Les nombres remarquables. Paryż: Hermann, 1983. ISBN 978-2705614072. (fr.).
• Georg Rabinowitz: Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. W: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians. Ernest William Hobson, Augustus Edward Hough Love. T. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1913. OCLC 1401628. (niem.).
• Harold M. Stark. On the „Gap” in the Theorem of Heegner. „Journal of Number Theory”. 1, 1969. DOI: 10.1016/0022-314X(69)90023-7. ISSN 0022-314X. (ang.). 
• Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions. Edytorzy Cristian Popescu, Karl Rubin i Alice Silverberg. Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7. (ang.).