Macierz transponowana, macierz przestawiona[1] macierzy
– macierz
która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze[1][2]. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).
Jeżeli macierz
ma wyrazy
(element
macierzy znajdujący się na przecięciu
-tego wiersza i
-tej kolumny), a macierz transponowana
ma wyrazy
to zachodzi związek
![{\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dea0cad302d804d586f222cbc106ade4c70aa8)
Przykład
(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0434dca47e2875f80477540a1891d960c8dbc4)
to macierz transponowana ma postać:
![{\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7aa4f7d3bf483f848a0ec11d6b9314d1c093b5)
(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2193d01e09cecdcfc1ee235eda35b3d65490cdbc)
to
![{\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716f1487b03e098ca4ad121bdb84009a286bdd1a)
Transpozycja macierzy symetrycznej
Macierz symetryczna[3] – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae43158423bfec484ca3ba36c18d148f34d7f1cf)
Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.
![{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4a6adb5177827198c1a849ab549c5cb32f6463)
Własności operacji transponowania
Tw. 1. Niech
wówczas:
[4], ![{\displaystyle (\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff20a3844bb7c8af16a5a9814d83321717e9cf6)
![{\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae8dd241f4c0ca94e166db27824774c4d019224)
Tw. 2. Jeśli
to:
![{\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac381180dde55279ec41df847db57107974a4217)
Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.
![{\displaystyle \det A^{\mathrm {T} }=\det A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38f09049a7d984795abdf6b2dece705b43dd92)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7088cbf7964fcbbdd11242126b5d007df37dab71)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b macierz transponowana, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-06-22] .
- ↑ g, Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
- ↑ g, Symmetric [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
- ↑ g, A Rule for Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
Bibliografia
- H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:
- Transponowanie macierzy, 29 kwietnia 2021.
- Transpozycja iloczynu macierzy, 30 kwietnia 2021.
- Transpozycja sumy macierzy. Transpozycja macierzy odwrotnej, 12 maja 2021.
- Rząd macierzy transponowanej równa się rzędowi macierzy, 3 października 2021.
Macierze
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy | |
---|
Cechy zależne od bazy | |
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe | |
---|
dwuargumentowe | |
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia | |
---|