Miara niezwartości

Miara niezwartości – funkcjonał mówiący o stopniu w jakim niezwarty jest dany ograniczony podzbiór przestrzeni metrycznej. Pomimo iż pojęcie miary niezwartości odnosi się do struktury metrycznej danej przestrzeni, to jednak jest ono użyteczne głównie w kontekście przestrzeni Banacha i innych przestrzeni liniowo-metrycznych. Po raz pierwszy funkcję tego typu rozważał Kazimierz Kuratowski w 1930^[1] (tzw. miara niezwartości Kuratowskiego). Innym ważnym przykładem jest tzw. miara niezwartości Hausdorffa, która to została wprowadzona w 1957^[2] przy okazji badania istnienia roziązań równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha. Własności tych dwóch obiektów doprowadziły do sformułowania aksjomatycznej definicji miary niezwartości.

W dzisiejszej matematyce, miary niezwartości są efektywnym narzędziem w teorii równań operatorowych w przestrzeniach Banacha, równaniach funkcyjnych, równaniach różniczkowych cząstkowych, teorii sterowania, teorii punktu stałego i wielu innych.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem

${\displaystyle \alpha (B)=\inf\{\delta >0\colon \,B\subset B_{1}\cup \ldots \cup B_{n},{\mbox{diam}}(B_{i})\leqslant \delta ,\;1\leqslant i\leqslant n;\;n\in \mathbb {N} \}}$

dla każdego ograniczonego zbioru ${\displaystyle B\subset X,}$ nazywana jest miarą niezwartości Kuratowskiego.

Innymi słowy, miara niezwartości Kuratowskiego ograniczonego zbioru ${\displaystyle B}$ to infimum z liczb nieujemnych ${\displaystyle \delta }$ takich, że zbiór ${\displaystyle B}$ można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż ${\displaystyle \delta .}$

Jeśli ${\displaystyle B,C\subseteq X}$ są zbiorami ograniczonymi, to mają miejsce następujące zależności (w przypadku punktów 8.-12. zakładamy, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha):

1. ${\displaystyle \alpha (B)=0\iff {\mbox{cl}}B}$ jest zbiorem zwartym,
2. ${\displaystyle \alpha (B)=\alpha ({\mbox{cl}}B),}$
3. ${\displaystyle B\subseteq C\Rightarrow \alpha (B)\leqslant \alpha (C),}$
4. ${\displaystyle \alpha (B\cup C)=\max\{\alpha (B),\alpha (C)\},}$
5. ${\displaystyle \alpha (B\cap C)\leqslant \min\{\alpha (B),\alpha (C)\},}$
6. Uogólnienie twierdzenia Cantora dokonane przez Kuratowskiego^[1]: Jeśli ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zstępującym ciągiem zbiorów, tj. ${\displaystyle B_{n+1}\subseteq B_{n}}$ dla każdego n, które są niepustymi, domkniętymi i ograniczonymi podzbiorami zupełnej przestrzeni metrycznej o tej własności, że ${\displaystyle \alpha (B_{n})}$ → 0, to zbiór ${\displaystyle B=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}}$ jest niepusty i zwarty, a przy tym ${\displaystyle B_{n}\to B}$ w sensie metryki Hausdorffa,
7. ${\displaystyle \alpha (A)\leqslant \operatorname {diam} (A),}$ gdzie diam(A) oznacza średnicę zbioru A,
8. ${\displaystyle \alpha (rB)=|r|\alpha (B)}$ dla każdej liczby rzeczywistej ${\displaystyle r,}$
9. ${\displaystyle \alpha ({\mbox{conv}}B)=\alpha (B),}$ gdzie ${\displaystyle {\mbox{conv}}B}$ oznacza otoczkę wypukłą zbioru ${\displaystyle B,}$
10. ${\displaystyle \alpha (B+C)\leqslant \alpha (B)+\alpha (C),}$
11. ${\displaystyle \alpha (\,\bigcup \{\lambda B\colon \,0\leqslant \lambda \leqslant h\}\,)=h\cdot \alpha (B)}$ dla każdej liczby ${\displaystyle h>0,}$
12. ${\displaystyle \alpha (K(x,r))=2r.}$

Podobnie, jak miarę niezwartości Kuratowskiego definiuje się miarę niezwartości Hausdorffa – zastępując warunek zbiór ${\displaystyle B}$ można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż ${\displaystyle \delta }$ warunkiem zbiór ${\displaystyle B}$ ma skończoną δ-sieć (może być pokryty δ-kulami). Formalnie:

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem

${\displaystyle \chi (B)=\inf\{\delta >0\colon \,B\subset K(x_{1},\delta )\cup \ldots \cup K(x_{n},\delta ),\,x_{1},\dots ,x_{n}\in X;\;n\in \mathbb {N} \}}$

dla każdego ograniczonego zbioru ${\displaystyle B\subset X,}$ nazywana jest miarą niezwartości Hausdorffa.

Miara niezwartości Hausdorffa ma własności 1.-11. miary Kuratowskiego (symbol ${\displaystyle \alpha }$ można zastąpić symbolem ${\displaystyle \chi }$), a miarę kuli w przestrzeni Banacha daje:

12'. ${\displaystyle \chi (K(x,r))=r.}$

Nazwa tej funkcji nie pochodzi bezpośrednio od nazwiska Felixa Hausdorffa, ale od metryki Hausdorffa, używając której można podać równoważną definicję ${\displaystyle \chi (A)}$ jako odległości zbioru ${\displaystyle A}$ do rodziny podzbiorów zwartych.

Funkcje ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \chi }$ są w pewnym sensie równoważne. Mówiąc ściślej, jeśli ${\displaystyle B\subseteq X}$ jest zbiorem ograniczonym, to

${\displaystyle \chi (B)\leqslant \alpha (B)\leqslant 2\chi (B).}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hilberta, to można otrzymać jeszcze lepsze szacowanie:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\chi (B)\leqslant \alpha (B)\leqslant 2\chi (B).}$

• Józef Banaś, Kazimierz Goebel: Measures of noncompactness in Banach spaces, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1979
• Kazimierz Kuratowski: Topologie Vol I, PWN. Warszawa 1958
• R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapova, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhäuser, Basel 1992