Miara niezwartości
Miara niezwartości – funkcjonał mówiący o stopniu w jakim niezwarty jest dany ograniczony podzbiór przestrzeni metrycznej. Pomimo iż pojęcie miary niezwartości odnosi się do struktury metrycznej danej przestrzeni, to jednak jest ono użyteczne głównie w kontekście przestrzeni Banacha i innych przestrzeni liniowo-metrycznych. Po raz pierwszy funkcję tego typu rozważał Kazimierz Kuratowski w 1930[1] (tzw. miara niezwartości Kuratowskiego). Innym ważnym przykładem jest tzw. miara niezwartości Hausdorffa, która to została wprowadzona w 1957[2] przy okazji badania istnienia roziązań równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha. Własności tych dwóch obiektów doprowadziły do sformułowania aksjomatycznej definicji miary niezwartości.
W dzisiejszej matematyce, miary niezwartości są efektywnym narzędziem w teorii równań operatorowych w przestrzeniach Banacha, równaniach funkcyjnych, równaniach różniczkowych cząstkowych, teorii sterowania, teorii punktu stałego i wielu innych.
Miara niezwartości Kuratowskiego
Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem
dla każdego ograniczonego zbioru nazywana jest miarą niezwartości Kuratowskiego.
Innymi słowy, miara niezwartości Kuratowskiego ograniczonego zbioru to infimum z liczb nieujemnych takich, że zbiór można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż
Podstawowe własności
Jeśli są zbiorami ograniczonymi, to mają miejsce następujące zależności (w przypadku punktów 8.-12. zakładamy, że jest przestrzenią Banacha):
- jest zbiorem zwartym,
- Uogólnienie twierdzenia Cantora dokonane przez Kuratowskiego[1]: Jeśli jest zstępującym ciągiem zbiorów, tj. dla każdego n, które są niepustymi, domkniętymi i ograniczonymi podzbiorami zupełnej przestrzeni metrycznej o tej własności, że → 0, to zbiór jest niepusty i zwarty, a przy tym w sensie metryki Hausdorffa,
- gdzie diam(A) oznacza średnicę zbioru A,
- dla każdej liczby rzeczywistej
- gdzie oznacza otoczkę wypukłą zbioru
- dla każdej liczby
Miara niezwartości Hausdorffa
Podobnie, jak miarę niezwartości Kuratowskiego definiuje się miarę niezwartości Hausdorffa – zastępując warunek zbiór można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż warunkiem zbiór ma skończoną δ-sieć (może być pokryty δ-kulami). Formalnie:
Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem
dla każdego ograniczonego zbioru nazywana jest miarą niezwartości Hausdorffa.
Miara niezwartości Hausdorffa ma własności 1.-11. miary Kuratowskiego (symbol można zastąpić symbolem ), a miarę kuli w przestrzeni Banacha daje:
- 12'.
Nazwa tej funkcji nie pochodzi bezpośrednio od nazwiska Felixa Hausdorffa, ale od metryki Hausdorffa, używając której można podać równoważną definicję jako odległości zbioru do rodziny podzbiorów zwartych.
Związki z miarą Hausdorffa
Funkcje i są w pewnym sensie równoważne. Mówiąc ściślej, jeśli jest zbiorem ograniczonym, to
W przypadku, gdy jest przestrzenią Hilberta, to można otrzymać jeszcze lepsze szacowanie:
Przypisy
- ↑ a b Kuratowski K.: Sur les espaces complets, Fundamenta Mathematicae 15 (1930), 301-309 do pobrania stąd.
- ↑ Gohberg I.T., Goldenštein L.S., Markus A.S.: An existence theorem for the equations x'=f(t,x) in Banach space, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. Astronom. Phys., 18, 7 (1970), 367-370.
Bibliografia
- Józef Banaś, Kazimierz Goebel: Measures of noncompactness in Banach spaces, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1979
- Kazimierz Kuratowski: Topologie Vol I, PWN. Warszawa 1958
- R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapova, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhäuser, Basel 1992