Okręgi Villarceau

Schemat tworzenia okręgów Villarceau

Okręgi Villarceau – para okręgów powstała jak zbiór punktów wspólnych torusa i płaszczyzny przecinającej go pod określonym kątem[1].

Historia

Nazwa okręgów pochodzi od francuskiego astronoma Antoine’a-Josepha Yvona Villarceau, który odkrył nową rodzinę okręgów powstałych z przecięcia torusa płaszczyzną, oprócz wcześniej znanych konstrukcji wykreślających południki i równoleżniki[2].

Obserwacje

Schemat styczności płaszczyzny i torusa
  • Przez dowolny punkt na torusie można przeprowadzić cztery okręgi, które leżą na tym torusie: dwa okręgi Villarceau, jeden południk i jeden równoleżnik[3][4].
  • Płaszczyzna tworząca okręgi Villarceau jest styczna do torusa w dwóch punktach[5].
  • Wizualizacja rozwłóknienia Hopfa(inne języki) sfery S 3 {\displaystyle S^{3}} objawia się jako zbiór okręgów Villarceau układających się w kształt torusów[6].
  • Przecinające się okręgi Villarceau mają zawsze dwa punkty wspólne[7].
  • Okrąg Villarceau jest loksodromą południków i równoleżników[8].
  • Promień okręgu Villarceau jest równy odległości środka obracanego okręgu od prostej, która jest osią obrotu w konstrukcji torusa[9].

Nawiązania

Schody z ozdobnym ornamentem na kolumnie

W budynku Musée de l’Œuvre Notre-Dame znajduje się sześciokątna wieża. Została ona zaprojektowana przez architekta Hansa Thomanna Uhlbergera. Na jej szczyt prowadzą kręte schody, które mają na górnym końcu poręczy na kolumnie ozdobny ornament[10]. Francuski matematyk Marcel Berger(inne języki) rozpoznał w nim „okręgi Villarceau”[11], co wielokrotnie stwierdzał w swoich publikacjach[12]. Oznaczałoby to, że Uhlberger miał wiedzę na temat tych okręgów. Jednak te przypuszczenia podawane są w wątpliwość, a specyficzne zakończenie może być przedłużeniem konstrukcji poręczy[13].

Przypisy

  1. ↑ Bil 2010 ↓, s. 5.
  2. ↑ Villarceau 1848 ↓, s. 246.
  3. ↑ Baird 2018 ↓, s. 2.
  4. ↑ Guz ↓.
  5. ↑ Nouvelles annales de mathématiques 1859 ↓, s. 259.
  6. ↑ Urbantke 2003 ↓, s. 128.
  7. ↑ Encyklopedia szkolna ↓, s. 286.
  8. ↑ Brown 1923 ↓, s. 193.
  9. ↑ Baird 2018 ↓, s. 3.
  10. ↑ Roegel 2014 ↓, s. 1.
  11. ↑ Berger 2010 ↓.
  12. ↑ Roegel 2014 ↓, s. 6.
  13. ↑ Roegel 2014 ↓, s. 10.

Bibliografia

  • EricE. Baird EricE., Villarceau circles and variable-geometry toroidal coils, lipiec 2018, DOI: 10.13140/RG.2.2.29729.51047/1  (ang.).
  • MarcelM. Berger MarcelM., Villarceau Circles, JohnJ. Moran (tłum.), marzec 2010 [dostęp 2020-12-06]  (ang.).
  • TadeuszT. Bil TadeuszT., Mechanizm Bennetta w geometrii torusów, „Acta mechanica et automatica”, 4 (1), Koszalin: Politechnika Koszalińska, 2010, s. 5-8 .
  • B.H.B.H. Brown B.H.B.H., A geometric paradox, „The Americain Mathematical Monthly”, 30 (4), 1923, 193-195 (193), JSTOR: 2298454  (ang.).
  • SebastianS. Guz SebastianS., Torus [online], Wrocławski Portal Matematyczny [dostęp 2020-12-06] .
  • DenisD. Roegel DenisD., The “Villarceau circles” in Uhlberger’s staircase (ca. 1580) [online], 2 lutego 2014, hal-00941465 [dostęp 2020-12-06]  (ang.).
  • H.K.H.K. Urbantke H.K.H.K., The Hopf fibration — seven times in physics, „Journal of Geometry and Physics”, 46 (2), 2003, s. 125-150, DOI: 10.1016/S0393-0440(02)00121-3  (ang.).
  • YvonY. Villarceau YvonY., Extrait d’une note communiquée à M. Babinet par M. Yvon Villarceau, „Comptes-rendus de l’Académie des sciences”, 27, 1848, s. 246  (fr.).
  • Section du tore par un plan tangent à cette surface et passant par son centre, „Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale”, 18, 1859 (1), s. 258-261  (fr.).
  • Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Villarceau Circles, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
  • Hopf fibration showing Villarceau circles [online] [dostęp 2020-12-06] .
  • Torus from Villarceau Circles [online], CutOutFoldUp [dostęp 2020-12-08] .