Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu ${\displaystyle k\geqslant 1}$ – równanie funkcyjne, które zawiera funkcję niewiadomą ${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots )}$ zmiennych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ (conajmniej dwóch) oraz pochodne cząstkowe funkcji niewiadomej ${\displaystyle u}$ względem tych zmiennych rzędu nie większego niż ${\displaystyle k}$.^[1]

Np. równanie Laplace'a jest równaniem cząstkowym rzędu ${\displaystyle k=2}$ trzech zmiennych ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$, gdyż zawiera drugie pochodne po tych zmiennych

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{3}^{2}}}=0}$

Przykładowymi rozwiązaniami tego równania są funkcje dane wzorami

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{2}-2x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+1}}}}$

(w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}}$) lub (w całej przestrzeni)

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}$

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki.

Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d’Alemberta. Było to równanie typu hiperbolicznego – według dzisiejszej nomenklatury – i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750–1830), tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.

A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.

P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych.

W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału, rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu.

Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły do powstania klasy równań, które nazywa się dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat, a z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz M. Krzyżańskiego, autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej. Jednak nadal znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk fizycznych, które pierwotnie opisywały lub uczonych, którzy zajmowali się opisem matematycznym zjawisk fizycznych.

Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu ${\displaystyle k\geqslant 1}$ nazywa się równanie postaci:

${\displaystyle F\left[x,u(x),Du(x),D^{2}u(x),\dots ,D^{k-1}u(x),D^{k}u(x)\right]=0,}$

gdzie:

• ${\displaystyle U}$ - otwarty podzbiór ${\displaystyle n-}$wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in U}$
• ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\times \ldots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\to \mathbb {R} }$ - dana funkcja
• ${\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} }$ - funkcja niewiadoma
• ${\displaystyle D^{l}u(x):=\left\{D^{\alpha }u(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}u(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\colon |\alpha |=l\right\}}$ - zbiór wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych rzędu ${\displaystyle l\leqslant k}$, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$ to ${\displaystyle n}$-wymiarowy wielowskaźnik

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

${\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dx_{1}}}={\frac {X_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}{X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ dla ${\displaystyle 2\leqslant k\leqslant n}$

(1)

nazywa się funkcje powstałe z całkowania równań w powyższym układzie

${\displaystyle c_{k}=\psi _{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1,}$

Jeśli funkcje ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w pewnym obszarze ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle X_{1}\neq 0}$, to każde rozwiązanie ${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})}$ równania

${\displaystyle X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+\ldots +X_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=0}$

można zapisać w postaci

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (\psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}),}$

gdzie:

• ${\displaystyle \psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}}$ - całki pierwsze układu (1)
• ${\displaystyle \Psi }$ - dowolna funkcja klasy ${\displaystyle C^{1}}$ względem ${\displaystyle (n-1)}$-zmiennych

W zagadnieniach, gdzie zjawiska zależą od czasu, wprowadza się osobno oznaczenia dla zmiennej czasowej ${\displaystyle t(t\geqslant 0)}$ oraz na zmienne przestrzenne ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in U,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Wtedy szukana funkcja zależy od zmiennych przestrzennych i czasu, ${\displaystyle u=u(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

1. Liniowe równanie transportu: ${\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0}$
2. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): ${\displaystyle u_{t}-\Delta u=0}$
3. Równanie Schrödingera: ${\displaystyle i\,u_{t}+\Delta u=0}$, gdzie ${\displaystyle i-}$ jednostka urojona
4. Równanie falowe: ${\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0}$
5. Równanie Laplace’a: ${\displaystyle \Delta u:=\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}=0}$ - równanie opisujące zjawiska niezależne od czasu (stacjonarne)

1. Nieliniowe równanie Poissona: ${\displaystyle \Delta u=-f(u)}$
2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: ${\displaystyle u_{t}+H(Du,x)=0}$, gdzie ${\displaystyle Du:=D_{x}u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$ oznacza gradient funkcji ${\displaystyle u}$ względem zmiennych przestrzennych ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$
3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: ${\displaystyle u_{t}-\Delta u=f(u)}$

• równanie różniczkowe zwyczajne

• Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3. (ang.). Brak numerów stron w książce
• David Gilbarg, Neil Sidney Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1977. ISBN 3-540-08007-4. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Julian Janus, Józef Myjak: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. 2008. Brak numerów stron w książce
• Tomáš Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Basel: Birkhäuser, 2013. DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1. ISBN 978-3-0348-0512-4. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Paweł Strzelecki: Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2006. ISBN 978-83-235-0227-2. Brak numerów stron w książce

• Równania różniczkowe cząstkowe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 25 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Partial Differential Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].
• Differential equation, partial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• Grant Sanderson, But what is a partial differential equation?, kanał 3blue1brown na YouTube, 21 kwietnia 2019 [dostęp 2021-03-15].