Rejestr przesuwający z liniowym sprzężeniem zwrotnym

Rejestr przesuwający z liniowym sprzężeniem zwrotnym (ang. linear feedback shift register, LFSR) – rejestr przesuwający, którego bit wejściowy jest funkcją liniową jego poprzedniego stanu.

Jedynymi funkcjami liniowymi w dziedzinie pojedynczych bitów są EX-OR oraz EX-NOR. Z tego powodu LFSR można zdefiniować jako rejestr przesuwający, którego wejście jest wysterowane funkcją XOR stanów kilku z komórek tworzących rejestr.

Najczęstsze zastosowania LFSR to generowanie liczb pseudolosowych i pseudoszumu.

Każdy LFSR jest związany z określonym wielomianem z pierścienia wielomianów R [ t ] , {\displaystyle R[t],} gdzie R {\displaystyle R} jest ciałem skończonym Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}

Okres rejestru jest ograniczony przez stopień stowarzyszonego z nim wielomianu i wynosi maksymalnie 2 d − 1 , {\displaystyle 2^{d}-1,} gdzie d {\displaystyle d} jest stopniem wielomianu (ciało Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} ma charakterystykę równą 2).

Okres danego LFSR jest maksymalny jeżeli stowarzyszony z nim wielomian jest wielomianem pierwotnym. Rejestr taki, nazywamy rejestrem maksymalnej długości.

Liczba wielomianów pierwotnych stopnia d {\displaystyle d} jest wyznaczona przez funkcję Eulera i wynosi φ ( 2 d − 1 ) / d . {\displaystyle \varphi (2^{d}-1)/d.} Tak więc, dla przykładu dla rejestrów długości 7 istnieje dokładnie φ ( 2 7 − 1 ) / 7 = φ ( 127 ) / 7 = 126 / 7 = 18 {\displaystyle \varphi (2^{7}-1)/7=\varphi (127)/7=126/7=18} rejestrów maksymalnej długości.

Jeżeli znany jest stopień wielomianu wystarczy zaledwie 2 d {\displaystyle 2d} bitów wyjścia rejestru, by znaleźć ów wielomian. (Gdyż należy rozwiązać d {\displaystyle d} równań, każde z d {\displaystyle d} niewiadomymi, ale żeby otrzymać d {\displaystyle d} równań wystarczy zaledwie 2 d {\displaystyle 2d} bitów wyjścia)

W celu stosowania rejestrów w kryptografii, np. w szyfrach strumieniowych wykorzystuje się różne metody przełamywania liniowości:

  • nieliniowa kombinacja kilku bitów z aktualnego stanu rejestru,
  • kombinacja bitów z kilku różnych rejestrów za pomocą funkcji nieliniowej,
  • nieliniowa kombinacja bitów z kilku różnych rejestrów (np. generator redukujący)[1],
  • regulacja większościowa częstotliwości taktowania rejestru (np. taka jak w szyfrze strumieniowym A5/1).

Zobacz też

  • A5 (kryptografia)
  • szyfr strumieniowy

Przypisy

  1. ↑ The Shrinking Generator. W: Don Coppersmith, Hugo Krawczyk, Yishay Mansour: Advances in Cryptology – CRYPTO ’93. s. 22–39. DOI: 10.1007/3-540-48329-2. (ang.).

Bibliografia

  • 6. Stream Ciphers. W: Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone: Handbook of applied cryptography. Boca Raton: CRC Press, 1997. ISBN 0-8493-8523-7.
  • Berlekamp-Massey Algorithm. PlanetMath, 2005-04-14. [dostęp 2010-06-03]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-07-16)]. (ang.).