Rozszerzenie normalne

Rozszerzenie normalne – w teorii ciał rozszerzenie ciała o zbiór pierwiastków pewnej rodziny wielomianów.

Jerzy Browkin wyprowadza pojęcie rozszerzenia normalnego ciała w następujący sposób. Niech dane będzie pewne wyjściowe ciało oznaczane ${\displaystyle K.}$ Można dla niego skonstruować pierścień wielomianów, oznaczany z kolei ${\displaystyle K[x].}$ Następnie z tegoż pierścienia wybrać można dowolny podzbiór wielomianów, dla której to rodziny wielomianów z kolei matematyk wprowadza oznaczenie ${\displaystyle F.}$ W końcu zbiór wszystkich pierwiastków wielomianów rodziny ${\displaystyle F}$ autor oznacza przez ${\displaystyle A}$ Dowolny element ${\displaystyle a}$ wzięty z ${\displaystyle A}$ jest więc pierwiastkiem pewnego wielomianu należącego do ${\displaystyle K[x]}$^[1]. Jako pierwiastek takiego wielomianu stanowi element algebraiczny nad ciałem ${\displaystyle K}$^[2]. Tak więc zbiór ${\displaystyle A}$ zawiera te elementy domknięcia algebraicznego ${\displaystyle a(K),}$ dla których istnieje należący do ${\displaystyle F}$ wielomian ${\displaystyle f,}$ który znika dla tych elementów, co zapisuje się jako ${\displaystyle A=\{a\in a(K):\exists f\in Ff(a)=0\}}$^[1].

Ciało rozkładu wielomianów należących do ${\displaystyle F}$ nazywa się wtedy rozszerzeniem normalnym ciała ${\displaystyle K.}$ Inaczej mówiąc, ciało ${\displaystyle L}$ stanowi rozszerzenie normalne ciała ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \exists FF\subset K[x]:L=K(A),}$ zachowując definicję A z paragrafu powyżej^[1].

Jako że rozszerzenie algebraiczne oznacza rozszerzenie danego ciała ${\displaystyle K}$ o elementy doń algebraiczne^[3], czyli będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu ${\displaystyle f\in K[x]}$^[3], rozszerzenie normalne ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K}$ – o pewne pierwiastki wybranych wielomianów – z definicji musi być algebraiczne^[1].

Wybrawszy dowolny niezerowy wielomian ${\displaystyle f\in K[x],}$ rozważać można ciało rozkładu tego wielomianu. Otrzymane w ten sposób rozszerzenie ciała ${\displaystyle K}$ będzie skończone i normalne. Co więcej, własności te wiąże nie tylko implikacja, ale i równoważność. Mianowicie każde rozszerzenie ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K,}$ jeśli jest zarazem skończone, jak i normalne, musi być ciałem rozkładu pewnego wielomianu ${\displaystyle f\in K[x]}$^[1].

Własności tej dowodzi się następująco. Dla wybranego ciała ${\displaystyle L}$ bierze się pewną rodzinę wielomianów ${\displaystyle F\subset K[x]}$ w ten sposób, iżby stanowiło ${\displaystyle L}$ złożenie ciał rozkładu wielomianów należących do ${\displaystyle F.}$ Można to zrobić, jako że ${\displaystyle L}$ jest rozszerzeniem normalnym ciała ${\displaystyle K,}$ wtedy po prostu ${\displaystyle L=K(A),}$ pamiętając, że przez ${\displaystyle A}$ oznaczono zbiór pierwiastków wielomianów z ${\displaystyle F}$^[1].

Następnie korzysta się z faktu, że ${\displaystyle L}$ jest rozszeniem skończonym ciała ${\displaystyle K.}$ Skoro tak, to istnieje skończony zbiór ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{r}\}}$ taki, że po rozszerzeniu ${\displaystyle K}$ o jego elementy otrzymuje się ${\displaystyle L.}$ Ponieważ ${\displaystyle L}$ jest rozszerzeniem o elementy zbioru ${\displaystyle A,}$ rozpatrywany zbiór musi zawierać się w ${\displaystyle A\colon \{a_{1},\dots ,a_{r}\}\subset A.}$ Nie trzeba tutaj brać koniecznie całego zbioru ${\displaystyle A,}$ wystarczy jego maksymalny liniowo niezależny podzbiór^[1].

Dla każdego elementu zbioru ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{r}\}}$ bierze się następnie taki wielomian ${\displaystyle f_{i}\in F,}$ który po podstawieniu doń ${\displaystyle a_{i}}$ przyjmuje wartość ${\displaystyle 0}$ (musi on istnieć, bo ${\displaystyle L}$ jest rozszerzeniem o pierwiastki wielomianów z ${\displaystyle F}$). Wielomiany te można ze sobą pomnożyć, otrzymując wielomian ${\displaystyle f=\prod _{i=1}^{r}f_{i}.}$ Oczywiście tak zdefiniowany wielomian ${\displaystyle f\in K[x].}$ Ciało ${\displaystyle M}$ rozkładu tegoż wielomianu ${\displaystyle f}$ stanowi złożenie ciał rozkładów wszystkich wielomianów ${\displaystyle f_{i}}$ od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle r.}$ Tak więc ${\displaystyle M\subset L.}$ Co więcej, każde ${\displaystyle a_{i}}$ z rozpatrywanego wyżej zbioru należeć musi do ${\displaystyle M,}$ wobec czego i ${\displaystyle L\subset M.}$ Z obustronnego zawierania się wywodzi się, że ${\displaystyle M=L.}$ Jako że przez ${\displaystyle M}$ oznaczono ciało rozkładu pewnego wielomianu ${\displaystyle f\in K[x],}$ to samo tyczy się tożsamego z nim ${\displaystyle L.}$ QED^[1].

Dla danego ciała ${\displaystyle K}$ posiadającego rozszerzenie algebraiczne ${\displaystyle L}$ dowodzi się, że ${\displaystyle L}$ jest rozszerzeniem normalnym ciała ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ${\displaystyle K}$-zanurzenia ${\displaystyle \varphi }$ przekształcającego ${\displaystyle L}$ w domknięcie algebraiczne ${\displaystyle a(K)}$ ${\displaystyle \varphi (L)=L.}$ Każdy z tych warunków równoważny jest trzeciemu: każdy nierozkładalny wielomian ${\displaystyle g}$ z ${\displaystyle K[x]}$ o pierwiastku w ciele ${\displaystyle L}$ rozkłada się w tym ostatnim na wielomiany liniowe z ${\displaystyle L[x]}$^[1].

Równoważności tych dowodzi się razem^[1]. Wpierw ${\displaystyle K}$-zanurzenie ${\displaystyle \varphi }$ przekształca ${\displaystyle L}$ w ${\displaystyle L.}$ Biorąc element ${\displaystyle a\in L}$ będący pierwiastkiem ${\displaystyle f\in K[x],}$ podstawia się doń ${\displaystyle \varphi (a),}$ które z własności ${\displaystyle K}$-zanurzenia równe jest ${\displaystyle \varphi (f(a)),}$ czyli ${\displaystyle 0.}$ Umieszcza to ${\displaystyle \varphi (a)}$ pośród pierwiastków ${\displaystyle f\in K[x].}$ Tak więc rozpatrywane zanurzenie przekształca zbiór pierwiastków ${\displaystyle f}$ z ${\displaystyle L}$ na ten sam zbiór. Wobec tego zbiór pierwiastków wielomianów ${\displaystyle A}$ (zgodnie z powyżej przyjętymi oznaczeniami) również przekształcony zostanie w ${\displaystyle A.}$ Jako że w takim razie ${\displaystyle L=K(A),}$ to ${\displaystyle \varphi (L)=\varphi (K(A))=K(\varphi (A))=K(A)=L.}$ W ten sposób otrzymuje się drugą własność z pierwszej^[4].

By otrzymać trzecią własność z drugiej, oznacza się przez ${\displaystyle a\in L}$ pierwiastek wielomianu nierozkładalnego ${\displaystyle g\in K[x].}$ Inny jego pierwiastek oznacza się jako ${\displaystyle b\in a(K).}$ Istnieje ${\displaystyle K}$-izomorfizm ${\displaystyle \varphi '}$ przekształcający ciało ${\displaystyle K(a)}$ w ciało ${\displaystyle K(b),}$ który z kolei rozszerzyć można do izomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ z ${\displaystyle L}$ w ${\displaystyle a(K)}$ (gdyż te właśnie ciała zawierają wspomniane pierwiastki). Korzystając z tego, że ${\displaystyle \varphi (L)=L,}$ jak również z tego, że ${\displaystyle \varphi (K(a))}$ nie różni się od ${\displaystyle \varphi '(K(a)),}$ równego z kolei ${\displaystyle K(b),}$ wnioskuje się, że musi się ${\displaystyle K(b)}$ zawierać w ${\displaystyle L.}$ Tak i ${\displaystyle b\in L.}$ Jako że nie nakładano żadnych dodatkowych ograniczeń na ${\displaystyle b,}$ musi to dotyczyć dowolnego pierwiastka ${\displaystyle g.}$ Skoro więc każdy pierwiastek wielomianu ${\displaystyle g}$ należy do ciała ${\displaystyle L,}$ to musi być ten wielomian rozkładalny na wielomiany liniowe z ${\displaystyle L[x]}$^[4].

• Rozszerzenie ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$ jest normalne, bo jest ciałem rozkładu wielomianu ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)\in \mathbb {Q} [x].}$

• JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977  (pol.).