Trójkąt Pascala
Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:
0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/PascalTriangleAnimated2.gif)
Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią[1]. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia Na przykład:
- w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.
Inaczej: licząc miejsca w wierszu i kolumnie od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa współczynnikowi dwumianowemu, oznaczanemu symbolem Newtona
Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe
Historia
Trójkąt ten opisano na przełomie XI i XII wieku, niezależnie przez Chińczyków i Omara Chajjama[potrzebny przypis]. W XVII wieku francuski matematyk Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwano trójkątem Pascala[potrzebny przypis].
Własności trójkąta
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Pascal4.png/220px-Pascal4.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Pascal%27s_Triangle_divisible_by_3.svg/300px-Pascal%27s_Triangle_divisible_by_3.svg.png)
- Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
- W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4,...).
- W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10,...).
- W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35,...).
- W czwartej liczbę kul w „czworościanie” w przestrzeni czterowymiarowej.
- Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
- Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów w trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.
- Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
- Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
- Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego. Podobna prawidłowość zachodzi także dla dowolnych liczb naturalnych:
0 1 # 1 1 1 # # 2 1 2 1 # # 3 1 3 3 1 # # # # 4 1 4 6 4 1 # # 5 1 5 10 10 5 1 # # # # 6 1 6 15 20 15 6 1 # # # # 7 1 7 21 35 35 21 7 1 # # # # # # # # 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 # # 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 # # # #
- Suma kwadratów wszystkich elementów wiersza o numerze n (numerując od zera) jest równa środkowemu elementowi wiersza 2n.
Zastosowania
Biologia
W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne[2].
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Każdy współczynnik obrazuje liczbę dróg, którymi można dojść od wierzchołka do danego punktu – ma to wykorzystanie przy analizie prawdopodobieństwa przy użyciu Deski Galtona[3].
Programy obliczające
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Pascal%27s_Triangle_animated_binary_rows.gif/250px-Pascal%27s_Triangle_animated_binary_rows.gif)
Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.
function pascal(n,k:integer):integer; begin if (k=0) or (k=n) then pascal := 1 else pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k); end;
Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n
– liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie:
long long **trojkatPascala; trojkatPascala= new long long *[n]; for (int j=0;j<n;j++) { trojkatPascala[j]=new long long [j+1]; trojkatPascala[j][0]=1; trojkatPascala[j][j]=1; for (int i=0; i<j-1; i++) trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1]; }
A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:
def write_list(list): print(' '.join([str(item) for item in list]).center(30)) x = input("Podaj liczbe poziomow: ") line = [1] write_list(line) for i in range(int(x) - 1): next_line = [1] for j in range(len(line) - 1): next_line.append(line[j] + line[j + 1]) next_line.append(1) line = next_line write_list(line)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Pascala trójkąt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-12] .
- ↑ dr Henryk St. Różański: Geny polimeryczne w Wykłady z przedmiotu: Genetyka i parazytologia lekarska. [dostęp 2011-05-20].
- ↑ Iwo Białynicki-Birula, Iwona Białynicka-Birula: Modelowanie rzeczywistości. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 36. ISBN 83-7255-103-0.
Linki zewnętrzne
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Trójkąt Pascala |
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pascal's Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Wajdi Mohamed Ratemi, The mathematical secrets of Pascal’s triangle, kanał TED-Ed na YouTube, 15 września 2015 [dostęp 2024-08-22].
- Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku) wraz z opisem w j. angielskim
- p
- d
- e
zagadnienia – znajdowanie liczby |
| ||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
inne |
- Britannica: topic/Pascals-triangle
- DSDE: Pascals_trekant