Ten artykuł od 2011-08 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.
Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Ten artykuł dotyczy twierdzenia o przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi. Zobacz też: Twierdzenie Talesa o trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg.
Twierdzenie Talesa – twierdzenie geometrii euklidesowej, konkretniej planimetrii, obowiązujące też w geometrii afinicznej. Dotyczy ono stosunków długości odcinków utworzonych przez cztery proste, z których dwie są do siebie równoległe, a pozostałe dwie – nie.
Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu[1][2][3].
Twierdzenie
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi nieprzechodzącymi przez wierzchołek kąta, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta[2][3].
Twierdzenie może być sformułowane bez użycia pojęcia kąta:
Jeśli wiązka prostych parami równoległych przecina dwie nierównoległe do siebie proste to odpowiednie odcinki wyznaczone przez tę wiązkę na prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez tę wiązkę na prostej
lub jeszcze ogólniej
Rzutowanie równoległe zachowuje proporcje długości na prostych, tzn. stosunek długości odcinków współliniowych jest niezmiennikiem rzutowania równoległego.
Twierdzenie odwrotne
Zachodzi również następujące twierdzenie odwrotne[1].
Jeśli ramiona kąta o wierzchołku przecięte są dwiema prostymi przy czym punkty należą do jednego ramienia kąta, punkty do drugiego oraz:
Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:
to założenia należałoby uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów, np.
punkt leży między punktami punkt leży między punktami
Dowody
Dowód na gruncie geometrii syntetycznej
(szkic) twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue’a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.
W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa. To prowadzi do błędnego koła.
Dane są dwa odcinki o długościach i Dany odcinek podziel w stosunku
Rozwiązanie
Z punktu należy poprowadzić dwie niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości i a na drugiej odcinek Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości na pierwszej półprostej oraz punkt leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości od punktu która wyznacza na prostej punkt Punkt ten dzieli odcinek w stosunku gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że