Zbiór algebraiczny

Zbiór algebraiczny – podzbiór przestrzeni afinicznej K n , {\displaystyle K^{n},} gdzie K {\displaystyle K} oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru S {\displaystyle {\mathcal {S}}} wielomianów pierścienia K [ X 1 , … , X n ] . {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].} Innymi słowy, zbiór

V = { ( x 1 , … , x n ) ∈ K n : f ( x 1 , … , x n ) = 0 , f ∈ S ⊂ K [ X 1 , … , X n ] } {\displaystyle V=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}\colon \;f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\;f\in {\mathcal {S}}\subset K[X_{1},\dots ,X_{n}]\}}

nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór S {\displaystyle {\mathcal {S}}} wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru S {\displaystyle {\mathcal {S}}} i oznaczamy V = Z ( S {\displaystyle V={\mathcal {Z}}({\mathcal {S}}} ).

Jeśli ( S ) {\displaystyle ({\mathcal {S}})} jest ideałem pierścienia K [ X 1 , … , X n ] , {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}],} generowanym przez zbiór S , {\displaystyle {\mathcal {S}},} to Z ( ( S ) ) = Z ( S ) . {\displaystyle {\mathcal {Z}}(({\mathcal {S}}))={\mathcal {Z}}({\mathcal {S}}).} Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany f 1 , … , f r , {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r},} które generują ideał ( S ) . {\displaystyle ({\mathcal {S}}).} Z drugiej strony dla każdego wielomianu f ∈ ( S ) {\displaystyle f\in ({\mathcal {S}})} istnieją wielomiany g 1 , … , g r ∈ K [ X 1 , … , X n ] , {\displaystyle g_{1},\dots ,g_{r}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}],} że

f = g 1 f 1 + … + h r f r . {\displaystyle f=g_{1}f_{1}+\ldots +h_{r}f_{r}.}

Wynika stąd, że każde zero wielomianów f 1 , … , f r {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}} jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału ( S ) . {\displaystyle ({\mathcal {S}}).} Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych

{ f 1 ( x 1 , … , x n ) = 0 ⋮ f r ( x 1 , … , x n ) = 0 . {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\end{array}}\right..}

Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń K n , {\displaystyle K^{n},} natomiast zerem ideału jednostkowego ( 1 ) {\displaystyle (1)} jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały 1 {\displaystyle 1} nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni K n {\displaystyle K^{n}} są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni K n . {\displaystyle K^{n}.} Topologia Zariskiego przestrzeni K n + m = K n × K m {\displaystyle K^{n+m}=K^{n}\times K^{m}} nie jest topologią Tichonowa.

Bibliografia