Anel de Kummer

Em álgebra abstrata, em anel de Kummer ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ é um subanel do anel dos números complexos, tal que cada um de seus elementos tem a forma

${\displaystyle n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\ }$,

onde ζ é uma m-ésima raiz da unidade, i.é.

${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/m}\ }$

e n₀ a n_m-1 são números inteiros.

Um anel de Kummer é uma extensão de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, o anel de inteiros, por isto o símbolo ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$. Como o polinômio mínimo de ζ é o m-ésimo polinômio ciclotômico, o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ é uma extensão de grau ${\displaystyle \phi (m)}$ (onde φ denota a função totiente de Euler).

Uma tentativa de visualizar um anel de Kummer no plano complexo pode produzir algo parecido com mapa renascentista, com rosas dos ventos e loxodromias.

O conjunto das unidades de um anel de Kummer contém ${\displaystyle \{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\}}$. Pelo teorema da unidade de Dirichlet, também existem unidades de ordem infinita, exceto nos casos m=1, m=2 (neste caso temos o anel ordinários dos inteiros), o caso m=4 (os inteiros de Gauss) e os casos m=3, m=6 (os inteiros de Eisenstein).

Os anéis de Kummer são nomeados em memória de Ernst Kummer, que estudou a fatorização única de seus elementos.

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149

• Teoria de Kummer