Convergência pontual

Em matemática, em especial na análise real e na análise funcional, a convergência pontual é um dos muitos conceitos que existem para convergência de uma seqüência de funções.

Algumas vezes a convergência pontual é chamada de convergência ponto a ponto.

Um conceito mais forte que convergência pontual é convergência uniforme. Um conceito mais fraco é convergência quase-sempre.

Definição para seqüências de funções reais

Seja ${\displaystyle D\,}$ um conjunto qualquer e ${\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções que compartilham do mesmo domínio ${\displaystyle D\,}$.

Diz-se que ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge pontualmente para uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ se:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),}$ para cada ${\displaystyle x\in D\,}$

Exemplos

• ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}\,}$ converge pontualmente para ${\displaystyle f(x)=0\,}$
• ${\displaystyle f_{n}(x)=n\sin \left({\frac {x}{n}}\right)}$ converge pontualmente para ${\displaystyle f(x)=x}$
• ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {|x|^{n}}{1+|x|^{n}}}}$ que converge pontualmente para ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|<1\\{\frac {1}{2}},&|x|=1\\1,&|x|>1\end{array}}\right.}$

Definição geral

Seja ${\displaystyle f_{n}:S\to X\,}$ uma seqüência de funções com contra-domínio em um espaço topológico X com uma topologia ${\displaystyle \tau \,}$. Então a seqüência converge pontualmente para uma função ${\displaystyle f:S\to X\,}$ quando, para todo x, a seqüência ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge para f(x). Isso equivale a escrever:

${\displaystyle \forall x\in S\ \forall A\in \tau ,\ (f(x)\in A\rightarrow \exists N\in \mathbb {N} ,\ (n>N\rightarrow f_{n}(x)\in A))\,}$.

Esta definição é equivalente a dizer que, na topologia produto de ${\displaystyle X^{S}\,}$, a seqüência ${\displaystyle f_{n}\,}$ converge para f.

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