Extensão de grupo
Em matemática, uma extensão de grupo é uma descrição de um grupo em termos de um subgrupo normal particular e do respectivo grupo quociente. Se Q e N são dois grupos, então G é uma extensão de Q por N se existir uma sequência exata curta
Se G é uma extensão de Q por N, então G é um grupo, é um subgrupo normal de G e o grupo quociente é isomorfo ao grupo Q. Extensões de grupos surgem no contexto do problema de extensão, no qual os grupos Q e N são conhecidos e precisa-se determinar as propriedades de G. Note que a frase "G é uma extensão de N por Q" também é utilizada por alguns autores.[1]
Uma vez que qualquer grupo finito G possui um subgrupo normal maximal N com grupo quociente simples G/N, todos os grupos finitos podem ser construídos como uma série de extensões com grupos simples finitos. Esse fato motivou a conclusão da classificação dos grupos simples finitos.
Uma extensão é chamada de extensão central se o subgrupo N estiver no centro de G.
Extensões em geral
Uma extensão, o produto direto, é imediatamente óbvia. Se for exigido que tanto G quanto Q sejam grupos abelianos, então o conjunto das classes de isomorfismo da extensão de Q por um dado grupo (abeliano) N é de fato um grupo, que é isomorfo a
(ver funtor Ext). Diversas outras classes gerais de extensões são conhecidas, mas não existe uma teoria que trate de todas as possíveis extensões de uma única vez. A extensão de um grupo é geralmente descrita como um problema difícil, denominado problema da extensão.
Para considerar alguns exemplos, se G = K × H, então G é uma extensão tanto de H quanto de K. De forma mais geral, se G é um produto semidireto de K e H, escrito como , então G é uma extensão de H por K, então produtos tais como o produto entrelaçado fornecem exemplos adicionais de extensões.
Problema da extensão
A questão de quais grupos G são extensões de H por N é chamada de problema da extensão, e tem sido amplamente estudado desde o final do século XIX. Quanto à sua motivação, considere que a série de composição de um grupo finito é uma sequência finita de subgrupos {Ai}, em que cada Ai+1 é uma extensão de Ai por algum grupo simples. A classificação dos grupos simples finitos nos dá uma lista completa dos grupos simples finitos; portanto, a solução para o problema de extensão nos daria informações suficientes para construir e classificar todos os grupos finitos em geral.
Classificando extensões
Resolver o problema da extensão equivale a classificar todas as extensões de H por K; ou de forma mais prática, expressando todas essas extensões em termos de objetos matemáticos que são mais fáceis de entender e calcular. Em geral, esse problema é muito difícil, e todos os resultados mais úteis classificam extensões que satisfazem alguma condição adicional.
É importante saber quando duas extensões são equivalentes ou congruentes. Dizemos que as extensões
e
são equivalentes (ou congruentes) se existe um isomorfismo de grupos tornando comutativo o diagrama da Figura 1. Na verdade, é suficiente ter um homomorfismo de grupo; devido à comutatividade assumida do diagrama, a aplicação é forçada a ser um isomorfismo pelo lema dos cinco curto.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Extensions_groups.png/220px-Extensions_groups.png)
Atenção
Pode acontecer de as extensões e não serem equivalentes, mas G e G ' serem isomorfos como grupos. Por exemplo, existem extensões não equivalentes do grupo Klein 4 por ,[2] mas existem, a menos de isomorfismo de grupos, apenas quatro grupos de ordem contendo um subgrupo normal de ordem com grupo de quociente isomorfo ao grupo Klein 4.
Extensões triviais
Uma extensão trivial é uma extensão
que é equivalente à extensão
onde as setas esquerda e direita são, respectivamente, a inclusão e a projeção de cada fator de .
Classificando extensões cindidas
Uma extensão cindida é uma extensão
com um homomorfismo tal que indo de H para G por s e depois de volta para H pela aplicação quociente da sequência exata curta induz a função identidade em H, isto é, . Nessa situação, costuma-se dizer que s cinde a sequência exata acima.
As extensões cindidas são muito fáceis de classificar, porque uma extensão cinde se, e somente se, o grupo G for um produto semidireto de K e H. Os próprios produtos semidiretos são fáceis de classificar, porque eles estão em correspondência um a um com homomorfismos de , em que Aut(K) é o grupo de automorfismos de K. Para uma discussão completa de por que isso é verdade, consulte produto semidireto.
Atenção
Em geral, em matemática, uma extensão de uma estrutura K é usualmente considerada como uma estrutura L da qual K é uma subestrutura. Veja, por exemplo, extensão de corpos. No entanto, na teoria dos grupos, a terminologia oposta foi introduzida, em parte por causa da notação , que pode ser lida facilmente como extensões de Q por N, e o foco está no grupo Q.
O artigo de Brown e Porter (1996) sobre a teoria de Schreier das extensões não-abelianas (citada abaixo) usa a terminologia de que uma extensão de K dá origem a uma estrutura maior.
Extensão central
Uma extensão central de um grupo G é uma sequência exata curta de grupos
tal que A está em Z(E), o centro do grupo E. O conjunto de classes de isomorfismo de extensões centrais de G por A (onde G age trivialmente sobre A) está em correspondência biunívoca com o grupo de coomologia H2(G, A).
Pode-se construir exemplos de extensões centrais tomando qualquer grupo G e qualquer grupo abeliano A, e definindo E como A × G. Este tipo de exemplo cindido corresponde ao elemento 0 em H2(G, A) na correspondência acima. Exemplos mais sérios são encontrados na teoria das representações projetivas, nos casos em que a representação projetiva não pode ser elevada a uma representação linear comum.
No caso de grupos finitos perfeitos, existe uma extensão central universal perfeita.
Da mesma forma, a extensão central de uma álgebra de Lie é uma sequência exata
de tal modo que está no centro de .
Existe uma teoria geral das extensões centrais nas variedades de Maltsev, como pode ser visto no artigo de Janelidze e Kelly listado abaixo.
Generalização para extensões gerais
O artigo sobre extensões de grupos e dado abaixo fornece uma classificação semelhante de todas as extensões de G por A em termos de homomorfismos de , uma condição de existência tediosa, mas explicitamente verificável, envolvendo e o grupo de coomologia .
Grupos de Lie
Na teoria dos grupos de Lie, as extensões centrais surgem em conexão com a topologia algébrica. A grosso modo, extensões centrais de grupos de Lie por grupos discretos são o mesmo que grupos de recobrimento. Mais precisamente, um espaço de recobrimento conexo G∗ de um grupo de Lie conexo G é naturalmente uma extensão central de G, de tal modo que a projeção
é um homomorfismo de grupo, e sobrejetiva. (A estrutura do grupo em G∗ depende da escolha de um elemento neutro correspondente à identidade em G) Por exemplo, quando G∗ é a cobertura universal de G, o núcleo de π é o grupo fundamental de G, que se sabe ser abeliano (veja o H-espaço). Inversamente, dado um grupo de Lie G e um subgrupo central discreto Z, o quociente G/Z é um grupo de Lie e G é um espaço de recobrimento dele.
Mais geralmente, quando os grupos A, E e G que aparecem em uma extensão central são grupos de Lie, e as aplicações entre eles são homomorfismos de grupos de Lie, então se a álgebra de Lie de G é g, a de A é a, e a de E é e, então e é uma extensão de álgebra de Lie central de g por a. Na terminologia da física teórica, os geradores de a são chamados de cargas centrais. Esses geradores estão no centro de e; pelo teorema de Noether, os geradores de grupos de simetria correspondem a quantidades conservadas, chamadas de cargas.
Os exemplos básicos de extensões centrais como grupos de recobrimento são:
- Os grupos de spin, que recobrem duplamente os grupos ortogonais especiais, que (em dimensão par) recobrem duplamente o grupo ortogonal projetivo.
- Os grupos metapléticos, que recobrem duplamente os grupos simpléticos.
O caso de SL2(R) envolve um grupo fundamental que é cíclico infinito. Aqui, a extensão central envolvida é bem conhecida na teoria das formas modulares, no caso de formas de peso ½. Uma representação projetiva correspondente é a representação de Weil, construída a partir da transformada de Fourier, neste caso na reta real. Os grupos metapléticos também ocorrem na mecânica quântica.
Ver também
- Extensão algébrica
- Extensão de corpo
- Extensão de álgebra de Lie
- Extensão de anel
- Álgebra Virasoro
- Extensão HNN
- Contração de grupo
- Extensão de um grupo topológico
Referências
- Mac Lane, Saunders (1975), Homology, ISBN 3-540-58662-8, Classics in Mathematics, Springer Verlag
- R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 5 (1954), 753–768.
- R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.
- R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227.
- G. Janelidze and G. M. Kelly, Central extensions in Malt'sev varieties, Theory and Applications of Categories, vol. 7 (2000), 219–226.
- P. J. Morandi, Group Extensions and H3. From his collection of short mathematical notes.