Fórmula do somatório de Poisson

A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função f, a segunda com sua transformada de Fourier f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} . Aqui, f é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson . Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A fórmula dos traços de Selberg, na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com um caráter muito mais profundo, entre o espectro Laplaciano e os comprimentos da geodésica na região de superfícies com curvatura constante negativa (enquanto as fórmulas de Poisson na dimensão n estão relacionadas ao Laplaciano e à geodésica periódica dos toros, espaços de curvatura zero).

Fórmula do somatório de Poisson

Convenção

Para qualquer função f a valores complexos e integrados em ℝ, é chamada transformada de Fourier de f a aplicação f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} definido por

∀ x ∈ R f ^ ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i x t   d t . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad {\hat {f}}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xt}~\mathrm {d} t.}

Teorema

Seja a número real positivo e ωo = 2π/a

Se f é uma função contínua de ℝ in ℂ e integrável de modo que 


  
    
      
        ∃
        C
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \exists C>0}
  
 , 
  
    
      
        ∃
        α
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \exists \alpha >1}
  
 ,  
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {\mathbb {R} } }
  
 , 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          
            C
            
              (
              1
              +
              
                |
              
              x
              
                |
              
              
                )
                
                  α
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)|\leq {\frac {C}{(1+|x|)^{\alpha }}}}

e 


  
    
      
        
          ∑
          
            m
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        m
        
          ω
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(m\omega _{0})|<\infty }

então

∑ n = − ∞ ∞ f ( t + n a ) = 1 a ∑ m = − ∞ ∞ f ^ ( m ω 0 ) e i m ω 0 t . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t+na)={\frac {1}{a}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{{\rm {i}}m\omega _{0}t}.}

Demonstração

O lado esquerdo da fórmula é a soma S de uma série de funções contínuas. A primeira das duas hipóteses em f implica que esta série normalmente converge para qualquer parte delimitada de ℝ. Portanto, sua soma é uma função contínua. Além disso, S é a periódico por definição. Podemos, portanto, calcular os coeficientes complexos de sua série de Fourier: 


  
    
      
        
          c
          
            m
          
        
        =
        
          
            1
            a
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            a
          
        
        S
        (
        t
        )
        
          
            
              e
            
          
          
            −
            
              i
            
            m
            
              ω
              
                0
              
            
            t
          
        
        
          d
        
        t
        =
        
          
            1
            a
          
        
        
          ∑
          
            n
            ∈
            
              Z
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            a
          
        
        f
        (
        t
        +
        n
        a
        )
        
          
            
              e
            
          
          
            −
            
              
                i
              
            
            m
            
              ω
              
                0
              
            
            t
          
        
         
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle c_{m}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}S(t){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}t}\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}t}~\mathrm {d} t}

A reversão integral em série sendo justificada pela convergência normal da série que define S. Deduzimos

c m = 1 a ∑ n ∈ Z ∫ 0 a f ( t + n a ) e − i m ω 0 ( t + n a )   d t = 1 a ∑ n ∈ Z ∫ n a ( n + 1 ) a f ( s ) e − i m ω 0 s   d s = 1 a ∫ − ∞ ∞ f ( s ) e − i m ω 0 s   d s = 1 a f ^ ( m ω 0 ) . {\displaystyle c_{m}={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}(t+na)}~\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{na}^{(n+1)a}f(s){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}{\hat {f}}(m\omega _{0}).}

De acordo com a segunda hipótese em f, a série de cm é, portanto, absolutamente convergente . Somando a série Fourier de S, obtemos S ( t ) = ∑ m ∈ Z c m e i m t ω 0 = 1 a ∑ m ∈ Z f ^ ( m ω 0 ) e i m t ω 0 . {\displaystyle S(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{m}{\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}={\frac {1}{a}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}.}

Convenção alternativa

Se as seguintes convenções forem usadas  :

f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ~ ( ν ) e − i 2 π x ν   d ν , {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {F}}(\nu ){\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} \nu ,}


F ~ ( ν ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e + i 2 π x ν   d x , {\displaystyle {\tilde {F}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\rm {e}}^{+{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} x,}

então a fórmula da soma de Poisson é reescrita (com t = 0 e a = 1 ) [1]  :

∑ n ∈ Z f ( n ) = ∑ m ∈ Z F ~ ( m ) . {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\tilde {F}}(m).}

Sobre as condições de convergência

Uma maneira prática de superar as condições de regularidade impostas à função f é colocar-se no contexto mais geral da teoria das distribuições . Se notarmos δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} a distribuição Dirac, se introduzirmos a seguinte distribuição  :

Δ ( x ) ≡ ∑ n ∈ Z δ ( x − n ) , {\displaystyle \Delta (x)\equiv \sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta (x-n),}

uma maneira elegante de reformular a soma é dizer que Δ ( x ) {\displaystyle \Delta (x)} é sua própria transformação de Fourier.

Aplicações da retomada de Poisson

Os exemplos mais básicos dessa fórmula são usados para determinar somas simples de números inteiros  :

S ≡ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 , {\displaystyle S\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},}

ou mesmo  :

S ≡ − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 4 = 7 π 4 720 . {\displaystyle S\equiv -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{4}}}={\frac {7\pi ^{4}}{720}}.}

Nós os convertemos em séries geométricas que podem ser somadas com precisão.

Em geral, a retomada de Poisson é útil na medida em que uma série que converge lentamente no espaço direto pode ser transformada em uma série que converge muito mais rapidamente no espaço de Fourier (se usarmos o exemplo de Funções gaussianas, uma lei normal de grande variação no espaço direto é convertida em uma lei normal de pequena variação no espaço de Fourier). Essa é a ideia essencial por trás da soma de Ewald .

Interpretação geométrica

Definições

O círculo, ou toro T em uma dimensão, é uma curva compacta que pode ser representada como o espaço quociente da linha euclidiana ℝ por um subgrupo discreto a ℤ do grupo das isométricas  :

T = R / a Z . {\displaystyle T=\mathbb {R} /a\mathbb {Z} .}

Geodésicas periódicas

As geodésicas periódicas do toro plano tem comprimentos dados por:

l n = n a , n ∈ N . {\displaystyle l_{n}=na,\quad n\in \mathbb {N} .}

Espectro do operador Laplace-Beltrami

Considere o operador Laplace-Beltrami em T  :

Δ u ( x ) = d 2 u ( x ) d x 2 . {\displaystyle \Delta u(x)={\frac {{\rm {d}}^{2}u(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}.}

Vamos procurar em particular seus autovalores λ n {\displaystyle \lambda _{n}} , soluções da equação com autovalores  :

− Δ u n ( x ) = λ n u n ( x ) . {\displaystyle -\Delta u_{n}(x)=\lambda _{n}u_{n}(x).}

onde as funções próprias u n {\displaystyle u_{n}} estão C ∞ ( R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )} e verifique a condição da periodicidade  :

∀ p ∈ Z u n ( x + p a ) = u n ( x ) . {\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} \quad u_{n}(x+pa)=u_{n}(x).}

Esses autovalores formam um todo contável que pode ser classificado em uma sequência crescente  :

0 = λ 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ , λ n = 4 π 2 n 2 a 2 . {\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}={\frac {4\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}.}

Generalizações

Podemos facilmente formular uma generalização dessa fórmula na dimensão n . Dada uma rede Λ ⊂ R n {\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{n}} então podemos definir a rede dupla Λ ′ {\displaystyle \Lambda '} (como formas no espaço vetorial duplo com valores inteiros em Λ {\displaystyle \Lambda } ou através da dualidade de Pontryagin ). Portanto, se considerarmos a distribuição de Dirac multidimensional, ainda notamos δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} com x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} , podemos definir a distribuição

Δ Λ ( x ) = ∑ λ ∈ Λ δ ( x − λ ) . {\displaystyle \Delta _{\Lambda }(x)=\sum _{\lambda \in \Lambda }\delta (x-\lambda ).}

Desta vez, obtemos uma fórmula de soma de Poisson observando que a transformada de Fourier de Δ Λ ( x ) {\displaystyle \Delta _{\Lambda }(x)} é Δ Λ ′ ( x ) {\displaystyle \Delta _{\Lambda '}(x)} (considerando uma normalização apropriada da transformação de Fourier).

Essa fórmula é frequentemente usada na teoria das funções teta. Na teoria dos números, podemos generalizar ainda mais essa fórmula no caso de um grupo abeliano localmente compacto . Na análise harmônica não comutativa, essa ideia é levada ainda mais longe e leva à fórmula dos traços de Selberg e assume um caráter muito mais profundo.

Um caso especial é o de grupos abelianos finitos, para os quais a fórmula da soma de Poisson é imediata ( cf. Análise harmônica em um grupo abeliano finito ) e tem muitas aplicações teóricas em aritmética e aplicada, por exemplo, em teoria de códigos e criptografia ( cf. Função booleana ).

Bibliografia

  • (em inglês) Matthew R. Watkins, « D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula » (page personnelle)

Referências

  1. ↑ Queffélec, Hervé; Zuily, Claude (2013). Dunod, ed. Analyse pour l'agrégation. [S.l.: s.n.] p. 95-97 
  • Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Poisson summation formula», especificamente desta versão.