Fator automórfico

Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL₂(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

Um fator automórfico de peso k é uma função

${\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação ${\displaystyle \mathbb {H} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação ${\displaystyle \Gamma }$ é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ é uma matriz 2x2

${\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}$

com ${\displaystyle a,b,c,d}$ números reais, satisfazendo ${\displaystyle ad-bc=1}$.

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, a função ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ é uma função holomorfa de ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.

2. Para todo ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ e ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, tem-se

${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$

para um determinado número real k.

3. Para todo ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ e ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$, tem-se

${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$

Aqui, ${\displaystyle \delta z}$ é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de ${\displaystyle z}$ por ${\displaystyle \delta }$.

4.Se ${\displaystyle -I\in \Gamma }$, então para todo ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ e ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, tem-se

${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$

Aqui, I denota a matriz identidade.

Cada fator automórfico pode ser escrito como

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

com

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

A função ${\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}$ é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

enquanto, se ${\displaystyle -I\in \Gamma }$, então

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.^[1]

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)