Identidade de polarização

Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.

A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$. De fato, como observado por John von Neumann,^[1] a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ é um espaço normado, então:^[2][3]

A lei do paralelogramo vale para norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ se e somente se existe um produto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ em ${\displaystyle H}$ tal que ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ para todo ${\displaystyle x\in H.}$

Um produto interno, em um espaço vetorial, gera uma norma por meio da seguinte relação: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma. Todo produto interno satisfaz: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ para todos os vetores }}x,y.}$$

Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$

Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo:^{[prova 1]} $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação ${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$ que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$ que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula: $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ para todos }}x,y\in H.}$$

A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer ${\displaystyle x,y\in H}$ é sempre igual a:^[4]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\;\;&(1)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(2)\\[3pt]&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(3)\\\end{alignedat}}}$

É sempre uma função simétrica, ou seja:^{[prova 1]} $${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H,}$$ e também satisfaz: $${\displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H.}$$

Portanto ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$, em outras palavras, mover um fator de ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ para o outro argumento adiciona um sinal negativo.

Diferente da sua parte real, a parte imaginária de um produto interno complexo depende de qual argumento é antilinear.

Para o produto interno ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$ antilinear no primeiro argumento, para todo ${\displaystyle x,y\in H,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

A penúltima igualdade é semelhante a fórmula que expressa o funcional linear ${\displaystyle \varphi }$ em termos de sua parte real: ${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Para o produto interno ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle }$ que é antilinear no segundo argumento, segue de${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$ pela relação: ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}.}$ Então para quaisquer ${\displaystyle x,y\in H,}$^[4]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Essa expressão pode reescrita como:^[5] $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Portanto se ${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto ${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$ do seu domínio, então sua parte imaginária será: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}R(ix,y)=-R(x,iy)&\quad {\text{ Se é antilinear no primeiro argumento}}\\R(x,iy)=-R(ix,y)&\quad {\text{ Se é antilinear no segundo argumento}}\\\end{cases}}}$$ em que o escalar ${\displaystyle i}$ está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.

Seja ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ então existe um único produto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ em ${\displaystyle H}$ tal que ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ para todo ${\displaystyle x\in H.}$^[4][1]

Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:^[6] $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ para todos vetores }}x,y,z.}$$

Se ${\displaystyle H}$é um espaço de Hilbert complexo, então ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ é real se, e somente se, sua parte complexa é ${\displaystyle 0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right),}$ o que acontece se, e somente se, ${\displaystyle \|x+iy\|=\|x-iy\|.}$ Similarmente, ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ é imaginário puro se, e somente se, ${\displaystyle \|x+y\|=\|x-y\|.}$ Por exemplo, de ${\displaystyle \|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|}$ conclui-se que ${\displaystyle \langle x|x\rangle }$ é real e que ${\displaystyle \langle x|ix\rangle }$ é imaginário puro.

Se ${\displaystyle A:H\to Z}$ é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo ${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$ para todo ${\displaystyle h\in H}$), então$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H;}$$ou seja, isometrias linear preservam o produto interno.

Se ${\displaystyle A:H\to Z}$ é uma isometria antilinear, então$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H.}$$

A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:$${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores ${\displaystyle {\textbf {u}},{\textbf {v}}}$, e ${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$. Em particular,$${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$em que ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ e ${\displaystyle {\textbf {v}}}$.

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:$${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}},}$$então,$${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$similarmente,$${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).

• Lax, Peter D. (2002). Functional Analysis (PDF). Col: Pure and Applied Mathematics (em inglês). New York, NY: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. Col: International Series in Pure and Applied Mathematics (em inglês). Vol. 8 (Segunda ed.). New York, NY: S&P Global. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations (em inglês). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 

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