Problema círculo-quadrado de Tarski

O problema círculo-quadrado de Tarski é um desafio, formulado por Alfred Tarski em 1925, consistindo de um disco plano, o qual deve ser cortado em diversas peças que, quando devidamente reencaixadas, formam um quadrado de área igual ao disco. O desafio foi provado ser possível de resolver por Miklós Laczkovich em 1990. A decomposição utiliza massivamente o axioma da escolha, sendo portanto não-construtiva. A construção de Laczkovich resulta em aproximadamente 10⁵⁰ peças diferentes.

Particularmente, é impossível dissecar um círculo e formar um quadrado usando partes que podem ser cortadas com tesouras (isto é, tendo contornos com curvas de Jordan). As peças usadas na prova de Laczkovich são subconjuntos não-mensuráveis.

Laczkovich de fato provou que a remontagem pode ser feita usando somente translações; rotações não são necessárias. Assim, ele também provou que qualquer polígono simples no plano pode ser decomposto em diversas peças finitas e remontado usando apenas translações para formar um quadrado de igual área. O teorema de Bolyai–Gerwien é relacionado com o problema mas de resultado bem mais simples: estabelece que pode-se obter a decomposição de um polígono simples com finitas peças poligonais, se translações e rotações são permitidas.

Segue de um resultado de Wilson (2005) que é possível escolher as peças de tal forma que elas podem ser movidas continuamente enquanto permanecendo disjuntos para formas o quadrado. Contudo, é possível provar que tal possibilidade pode ser enfraquecida pela utilização de somente translações.

• Paradoxo de Banach–Tarski
• Quadratura do círculo

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), «Squaring the circle by dissection» (PDF), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (1): 47–55, MR 1990983 
• Laczkovich, Miklos (1990), «Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 404: 77–117, MR 1037431, doi:10.1515/crll.1990.404.77 
• Laczkovich, Miklos (1994), «Paradoxical decompositions: a survey of recent results», Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progress in Mathematics, 120, Basel: Birkhäuser, pp. 159–184, MR 1341843 
• Tarski, Alfred (1925), «Probléme 38», Fundamenta Mathematicae, 7: 381 
• Wilson, Trevor M. (2005), «A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem», Journal of Symbolic Logic, 70 (3): 946–952, MR 2155273, doi:10.2178/jsl/1122038921