Problema do círculo de Gauss

Em matemática, o problema do círculo de Gauss consiste em determinar quantos pontos de coordenadas inteiras existem num círculo (no interior e na borda)^[1] centrado na origem e com raio r.^[2] O nome do problema faz referência a Carl Friedrich Gauss, a quem se deve os primeiros progressos rumo à uma solução.

Considerando-se um círculo em R² com centro na origem e raio r ≥ 0. O problema do círculo de Gauss pergunta quantos pontos existem dentro e na borda desse círculo que são da forma (m,n) onde m e n são ambos inteiros. Uma vez que a equação desse círculo é dada em coordenadas cartesianas por x² + y² = r², a questão é equivalente a perguntar quantos pares de inteiros m e n existem tais que: ${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Se a resposta para um dado r for denotada por N(r) então a seguinte lista mostra os primeiros valores de N(r) para r um inteiro entre 0 e 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.

Notas

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Gauss circle problem», especificamente desta versão.

• Weisstein, Eric W. «Gauss's circle problem». MathWorld (em inglês)