Segmento inicial (matemática)

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se y≤x, então y pertence à S.

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto bem ordenado. Um subconjunto ${\displaystyle S\subset X}$ é um segmento inicial de ${\displaystyle X}$ se satisfizer a condição

${\displaystyle \ \ \forall x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)}$

onde, ${\displaystyle x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}}$ ^[1]

Outra definição mais usual é:

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto ${\displaystyle S\subset X}$ é um segmento inicial de ${\displaystyle X}$ se satisfizer a condição

${\displaystyle \ \ \forall x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)}$

onde, ${\displaystyle x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}}$ ^[2]

• Se ${\displaystyle S}$ é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle S\neq X\iff \exists x\in X(S=x^{\leftarrow })}$
• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são conjuntos bem ordenados, então ou ${\displaystyle X}$ é isomorfo a um segmento inicial de ${\displaystyle Y}$, ou ${\displaystyle Y}$ é isomorfo a um segmento inicial de ${\displaystyle X}$. ^[3]

• A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração

Sejam ${\displaystyle I=\{1,2,..N\}}$ e ${\displaystyle X}$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo ${\displaystyle i\in I}$, considere ${\displaystyle S_{i}}$ um segmento inicial de ${\displaystyle X}$. Assim, se ${\displaystyle y\in \bigcap _{i\in I}S_{i}}$, então, ${\displaystyle \forall i\in I\ \ y\in S_{i}}$ então, como ${\displaystyle S_{i}}$ é um segmento inicial, ${\displaystyle y^{\leftarrow }\subset S_{i}}$, logo, ${\displaystyle y^{\leftarrow }\subset \bigcap _{i\in I}S_{i}}$, portanto, ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}}$ é um segmento inicial de ${\displaystyle X}$

• A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração

Sejam ${\displaystyle I=\{1,2,..N\}}$ e ${\displaystyle X}$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo ${\displaystyle i\in I}$, considere ${\displaystyle S_{i}}$ um segmento inicial de ${\displaystyle X}$. Assim, se ${\displaystyle y\in \bigcup _{i\in I}S_{i}}$, então, ${\displaystyle \exists k\in I}$ tal que ${\displaystyle y\in S_{k}}$ então, como ${\displaystyle S_{k}}$ é um segmento inicial, ${\displaystyle y^{\leftarrow }\subset S_{k}}$, logo, ${\displaystyle y^{\leftarrow }\subset \cup _{i\in I}S_{i}}$, portanto, ${\displaystyle \cup _{i\in I}S_{i}}$ é um segmento inicial de ${\displaystyle X}$

• No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: ${\displaystyle ]-\infty ,a]}$ ou ${\displaystyle ]-\infty ,a[}$.
• ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\ k^{\leftarrow }}$ é um segmento inicial de ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Um corte inferior de Dedekind em ${\displaystyle \mathbb {Q^{+}} }$ ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de ${\displaystyle \mathbb {Q^{+}} }$, não vazio, majorado e sem máximo. ^[4]

Referências