Teorema de Kutta Joukowski

O Teorema de Kutta-Joukowski é um teorema fundamental da aerodinâmica. O nome provém do cientista alemão Martin Wilhelm Kutta e do cientista russo Nikolai Joukowski (ou Zhukovsky), pioneiros no desenvolvimento das suas ideias-chave no início dos anos 1920.

O teorema diz que a sustentação gerada por um cilindro é proporcional à velocidade do cilindro através do fluido, da densidade do fluido, da circulação. A circulação é definida como a integral de linha, em torno de um ciclo fechado envolvendo o cilindro ou aerofólio, da componente da velocidade tangente do fluidos para o loop. A magnitude e direção da velocidade do fluido varia ao longo do caminho.[1]

O fluxo de ar em resposta à presença do aerofólio pode ser tratado como a superposição de um fluxo de translação e um fluxo de rotação. É, porém, errado pensar que existe um vórtice cercando o cilindro ou a asa de um avião em vôo. É o caminho da integral que circunda o cilindro, não um vórtice de ar. (Em descrições do teorema de Kutta-Joukowski o aerofólio é geralmente considerado como um cilindro circular ou algum aerofólio Joukowski).

O teorema refere-se ao fluxo de duas dimensões em torno de um cilindro (ou um cilindro de envergadura infinita) e determina a sustentação gerada por uma unidade de comprimento. Quando a circulação Γ ∞ {\displaystyle \Gamma _{\infty }\,} é conhecida, a sustentação L {\displaystyle L\,} por unidade de comprimento do cilíndro (Newtons/metro no SI) pode ser calculada de acordo com a seguinte equação:[2][3]

L = ρ ∞ V ∞ Γ ∞ , {\displaystyle L=\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma _{\infty },\,}   (1)

onde ρ ∞ {\displaystyle \rho _{\infty }\,} e V ∞ {\displaystyle V_{\infty }\,} são a densidade do fluido e a velocidade a montante do cilíndro, e Γ ∞ {\displaystyle \Gamma _{\infty }\,} é a circulação definida como a integral de linha,

Γ ∞ = ∮ C ∞ V cos ⁡ θ d s {\displaystyle \Gamma _{\infty }=\oint _{C_{\infty }}V\cos \theta \;ds\,}

em torno de um caminho C ∞ {\displaystyle C_{\infty }\,} (no plano complexo) longe e circundando o cilindro ou aerofólio. Esse caminho deve ser em uma região do escoamento potencial e não na camada limite do cilindro. O termo V cos ⁡ θ {\displaystyle V\cos \theta \,} é a componente local da velocidade tangente e na direção da curva C ∞ {\displaystyle C_{\infty }\,} que circunda o cilindro, e d s {\displaystyle ds\,} é o comprimento infinetesimal dessa curva. A equação (1) é a forma do teorema de Kutta-Joukowski.

Kuethe e Schetzer colocaram o teorema de Kutta-Joukowski da seguinte maneira:[4]

"A força por unidade de comprimento que age em um cilindro de qualquer seção transversal é igual a ρ ∞ V ∞ Γ ∞ {\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma _{\infty }} , e é perpendicular à direção de V ∞ . {\displaystyle V_{\infty }.} ".

Para um argumento bastante heurístico, considere um aerofólio de pequena espessura de corda c {\displaystyle c} e envergadura infinita, movendo-se através do ar de densidade ρ. Suponha o aerofólio inclinado para o fluxo que chega para produzir uma velocidade V de um lado do aerofólio, e uma velocidade V + v no outro lado. A circulação então pode ser calculada como:

Γ = ( V + v ) c − ( V ) c = v c . {\displaystyle \Gamma =(V+v)c-(V)c=vc.\,}

A diferença de pressão Δ P {\displaystyle \Delta P} entre os lados do aerofólio pode ser calculada de acordo com a equação de Bernoulli:

ρ 2 ( V ) 2 + ( P + Δ P ) = ρ 2 ( V + v ) 2 + P , {\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}
ρ 2 ( V ) 2 + Δ P = ρ 2 ( V 2 + 2 V v + v 2 ) , {\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}
Δ P = ρ V v (ignorando  ρ 2 v 2 ) , {\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignorando }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}

então a força de sustentação por unidade de comprimento pode ser calculada:

L = c Δ P = ρ V v c = ρ V Γ . {\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=\rho V\Gamma .\,}

Notas

  • Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
  • Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
  • A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
  • Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
  • Houghton, E. L. Aerodynamics for Engineering Students, p 168

Referências

  1. ↑ Anderson, J. D. Jr. (1989). «Pressure, Temperature, and Density Altitudes». Introduction to Flight 3rd ed. New York: McGraw-Hill. pp. 100–103. ISBN 0-07-001641-0 
  2. ↑ «Lift on rotating cylinders». NASA Glenn Research Center. 9 de novembro de 2010. Consultado em 7 de novembro de 2013. Cópia arquivada em 11 de janeiro de 2014 
  3. ↑ Clancy, L. J. (1975). Aerodynamics. London: Pitman. Section 4.5. ISBN 0-273-01120-0 
  4. ↑ Kuethe, A. M.; Schetzer, J. D. (1959). Foundations of Aerodynamics. New York: John Wiley & Sons. Section 4.9. ISBN 0-471-50952-3 
  • Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
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