Trajetória ortogonal
Uma equação da forma , onde é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersetam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90.[1]
Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas , é necessário encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior.
A derivada representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado
a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais.[1]
Exemplo
Encontre as trajetórias ortogonais da família de círculos com centro na origem.[1]
A equação dos círculos com centro na origem é
onde o parâmetro pode ter qualquer valor positivo a equação diferencial cuja solução geral é essa família de círculos obtém-se por derivação implícita
e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
A solução desta equação de variáveis separáveis é
que corresponde a uma família de retas que passam pela origem; a constante de integração é declive das retas. A figura mostra a família de curvas e as trajetórias ortogonais.[1]
Referências
Ver também
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