Transformação de Bateman

No estudo matemático de equações diferenciais parciais, a Transformada de Bateman é um método para resolver a Equação de Laplace em quatro dimensões e a Equação de Onda em três, usando uma integral de linha de uma Função Holomorfa em três variáveis complexas.

A fórmula afirma que se ƒ é uma Função Holomorfa de três variáveis complexas, então

ϕ ( w , x , y , z ) = ∮ γ f ( ( w + i x ) + ( i y + z ) ζ , ( i y − z ) + ( w − i x ) ζ , ζ ) d ζ {\displaystyle \phi (w,x,y,z)=\oint _{\gamma }f\left((w+ix)+(iy+z)\zeta ,(iy-z)+(w-ix)\zeta ,\zeta \right)\,d\zeta } ϕ ( w , x , y , z ) = ∮ γ f ( ( w + i x ) + ( i y + z ) ζ , ( i y − z ) + ( w − i x ) ζ , ζ ) d ζ {\displaystyle \phi (w,x,y,z)=\oint _{\gamma }f\left((w+ix)+(iy+z)\zeta ,(iy-z)+(w-ix)\zeta ,\zeta \right)\,d\zeta }

é uma solução da equação de Laplace, que segue por diferenciação sob a integral. Além disso, Bateman afirmou que a solução mais geral da equação de Laplace surge dessa maneira.

Referências

  • Bateman, Harry (1904), «The solution of partial differential equations by means of definite integrals», Proceedings of the London Mathematical Society, 1 (1): 451–458, doi:10.1112/plms/s2-1.1.451 .
  • Eastwood, Michael (2002), Bateman's formula (PDF), MSRI .