Ermitovi polinomi

Ermiteovi polinomi predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

("probabilistički' Ermiteovi polinomi"), i

${\displaystyle (2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

("fizikalni' Ermiteovi polinomi"). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n/2}{\mathit {He}}_{n}({\sqrt {2}}\,x),\qquad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Prvih jedanaest polinoma je:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{2}(x)=x^{2}-1\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{3}(x)=x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}$

Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

${\displaystyle H_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}$

${\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}$

${\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}$

${\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}$

${\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}$

${\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}$

Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:

${\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}$

H_n(x) i He_n(x) predstavljaju polinome ntoga-stepena za n = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$   (He)

ili

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$   (H)

tj. mi immo:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$

kada je m ≠ n. Dalje,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{nm}}$   (probabilistički)

ili

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}}$   (fizikalna).

Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.

Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).\,\!}$ (probabilistička)

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).\,\!}$ (fizikalna)

Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}'(x)=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}$ (probabilistička)

${\displaystyle H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!}$ (fizikalna)

ili ekvivalentno,

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)}$ (probabilistička)

${\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).}$ (fizikalna)

Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}$ (probabilistička)

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!}$ (fizikalna)

Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

${\displaystyle \exp(xt-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$ (probabilistička)

${\displaystyle \exp(2xt-t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$ (fizikalna).

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{n/2}{\frac {(-1)^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell }}$

za parne n i

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{(n-1)/2}{\frac {(-1)^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell +1}}$

za neparne n. Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$

gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da u treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je u(x) = H_λ(x). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:

${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}$

Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u}$

čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.

Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

${\displaystyle \psi _{n}(x)=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=(-1)^{n}(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}}$

Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n\,m}\,}$

Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

${\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0\,.}$

Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

kao i

${\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0