Temeljna termodinamička relacija
U termodinamici, temeljna termodinamička relacija je bitna jednadžba koja povezuje prvi zakon termodinamike i definicijsku jednadžbu entropije u jednu cjelinu. Pokazuje kako važne termodinamičke veličine ovise jedna o drugoj. Pomoću nje možemo doći do zaključka o veličinama koje ne možemo izravno mjeriti pomoću onih koje možemo. Vrijedi za bilo koji reverzibilni i ireverzibilni proces između dva stanja koja su u ravnoteži.[1] Obično je izražena u diferencijalnom obliku (diferencijalna jednadžba), odnosno pomoću infinitezimalnih promjena termodinamičkih veličina na sljedeći način:
gdje je unutarnja energija, termodinamička temperatura, entropija, tlak tlak, a volumen.
Pomoću Legendreove transformacije (involutarno preslikavanje)[2] možemo izraziti temeljnu termodinamičku relaciju pomoću drugih bitnih termodinamičkin veličina. Na primjer, možemo ju izraziti preko entalpije kao
pomoću Helmoltzove slobodne energije kao
i pomoću Gibbsobe slobodne energije kao
- .[3]
Prvi i drugi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike je definiran kao:
gdje je neegzaktni diferencijal[4] topline predan sustavu, a neegzaktni diferencijal rada predan od sustava nekon drugom sustavu.
Drugi_zakon_termodinamike se može matematički izraziti preko Clausiusove (ne)jednakosti [5] kao:
Ukoliko uvrstimo Clausiusovu jednakost u prvi zakon termodinamike dobivamo
izrazimo li neegzaktni diferencijal rada izrazimo pomoću tlaka i promjene volumena
dobivamo traženu relaciju
- .
Ako sustav ima više vanjskih parametara od samog volumena koji se mogu mijenajati, temeljna termodinamička relacija poopćuje se na
gdje su poopćene sile koje odgovaraju pripadajućim poopćenim pomacima .
Povezanost sa statističkom mehanikom
Temeljna termodinamička relacija i principi statističke mehanike mogu biti izvedeni jedni pomoću drugih.[6]
Povezanost s ostalim dijelovima fizike
Hamiltonova mehanika
Ukoliko promotrimo temeljnu termodinamičku relaciju iz aspekta Hamiltonovog formalizma uočiti ćemo da ona zapravo predstavlja kanonsku transformaciju iz koordinata u koordinata i obrnuto.
Kanonska transformacija je definirana kao
gdje je generatorska funkcija[7], količina gibanja, a označava poopćene koordinate. Veličine i su kanonski transformirani par koordinata.
Kanonska tranformacija održava Hamiltonove jednadžbe invarijantnima.[8] Iskoristimo li (poopćeni) Stokesov teorem na definiciju kanonske transformacije dobijamo bilinearnu difernecijalnu formu (infinitezimalni paralelogram)
koja pokazuje da Jacobijan preslikavanja iznosi , odnosno da je volumen faznog prostora prije i nakon transformacije očuvan.
Upotrijebimo li istu tehniku na temeljnu termodinamičku relaciju dobijamo izraz
[9]
odnosno da je površina ispod funkcija u i dijagramima jednaka, što je dobro poznata činjenica iz termodinamike.
Termodinamika crnih rupa
Još jedna povezanost se može napraviti s općom teorijom relativnosti. Za perturbacije stacionarnih crnih rupa, promjena energije povezana je s promjenom površine, kutnog momenta i električnog naboja sa:
gdje je gdje energija, je površinska gravitacija, površina horizonta, je kutna brzina, je kutni moment, je elektrostatski potencijal i je električni naboj. Tu povezanost je prvi put uspostavio Bekenstein 1972 godine.[10] Usporedimo li ovu jednadžbu s prvom jednadžbom u ovom članku uviđamo sličnosti i koliko je zapravo temeljna termodinamička relacija temeljna i izvan okvira klasične termodinamike.
Izvori
- ↑ https://www.physicsforums.com/threads/when-is-the-fundamental-thermodynamic-relation-true.604557/#google_vignette
- ↑ https://www.enciklopedija.hr/clanak/involucija
- ↑ https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Supplemental_Modules_(Physical_and_Theoretical_Chemistry)/Thermodynamics/Energies_and_Potentials/Differential_Forms_of_Fundamental_Equations#Maxwell_Relations
- ↑ https://www.pmf.unizg.hr/_download/repository/mat2-pred12-2024.pdf
- ↑ Fermi, E. (1956). "jednadžba 72". Thermodynamics. Dover Publications. str. 52.
- ↑ Gao, Xiang (March 2022). „The Mathematics of the Ensemble Theory”. Results in Physics 34: 105230. arXiv:2006.00485. Bibcode 2022ResPh..3405230G. DOI:10.1016/j.rinp.2022.105230.
- ↑ https://mapmf.pmfst.unist.hr/~zeljko/TEORIJSKA_MEHANIKA.pdf
- ↑ https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Advanced_Statistical_Mechanics_(Tuckerman)/04%3A_The_canonical_ensemble/4.04%3A_Preservation_of_Phase_Space_Volume_and_Liouville's_Theorem#:~:text=This%20conservation%20law%20states%20that,one%20statement%20of%20Liouville's%20theorem.
- ↑ https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/01/19/classical-mechanics-versus-thermodynamics-part-1/
- ↑ https://link.springer.com/article/10.1007/BF02757029