Banachs fixpunktssats

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen, som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach, som formulerade den 1922.^[1]

Antag att ${\displaystyle X}$ är ett icke-tomt metriskt rum som är fullständigt, och att ${\displaystyle T:X\to X}$ är en kontraktionsavbildning. ${\displaystyle T}$ har i så fall en unik fixpunkt. Det existerar således exakt ett element ${\displaystyle x\in X}$ som uppfyller ${\displaystyle T(x)=x}$.

Välj ett godtyckligt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ och konstruera sedan följden ${\displaystyle (x_{n})}$ genom:

${\displaystyle x_{1}=T(x_{0})}$

${\displaystyle x_{2}=T(x_{1})=T^{2}(x_{0})}$

${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})=T^{n}(x_{0})}$

Då ${\displaystyle T}$ är en kontraktionsavbildning fås att:

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})=d(T(x_{n}),T(x_{n-1}))\leq ad(x_{n},x_{n-1})=ad(T(x_{n-1}),T(x_{n-2}))\leq ...\leq a^{m}d(x_{0},x_{1})}$

För godtyckliga naturliga tal ${\displaystyle m}$ och ${\displaystyle n}$ med ${\displaystyle m<n}$ får vi nu, genom triangelolikheten och att ${\displaystyle a<1}$, att:

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x_{m+1})+d(x_{m+1},x_{m+2})+...+d(x_{n-1},x_{n})\leq (a^{m}+a^{m+1}+...+a^{n-1})d(x_{0},x_{1})=a^{m}{\frac {1-a^{n-m}}{1-a}}d(x_{0},x_{1})}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq a^{m}{\frac {1-a^{n-m}}{1-a}}d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {a^{m}}{1-a}}d(x_{0},x_{1})}$

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom ${\displaystyle d(x_{0},x_{1})}$ är fixt och ${\displaystyle a^{m}\to 0}$ när ${\displaystyle m\to \infty }$. Detta ger att följden ${\displaystyle (x_{n})}$ är en Cauchyföljd och då ${\displaystyle X}$ är fullständigt finns det ett gränsvärde ${\displaystyle x}$ så att ${\displaystyle x_{n}\to x}$.

${\displaystyle x}$ är i själva verket fixpunkten för ${\displaystyle T}$, då

${\displaystyle d(x,T(x))\leq d(x,x_{m})+d(x_{m},T(x))=d(x,x_{m})+d(T(x_{m-1}),T(x))\leq d(x,x_{m})+ad(x_{m-1},x)}$

eftersom ${\displaystyle d(x,x_{m})}$ och ${\displaystyle d(x_{m-1},x)}$ kan göras godtyckligt litet för stora ${\displaystyle m}$ (${\displaystyle x_{m}}$ går mot ${\displaystyle x}$ ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för ${\displaystyle T}$ kallad ${\displaystyle y}$, då vi får:

${\displaystyle 0\leq d(x,y)=d(T(x),T(y))\leq ad(x,y).}$

Men ${\displaystyle a<1}$ ger oss att ${\displaystyle d(x,y)=0}$, det vill säga ${\displaystyle x=y}$.

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och uniciteten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

• Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
• Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0