Cevas sats är en sats inom euklidisk plangeometri, uppkallad efter den italienske ingenjören Giovanni Ceva som publicerade den i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio 1678.[1][2]. Den säger att för cevianer genom en triangels tre hörn, gäller följande samband om och endast om cevianerna skär varandra i en och samma punkt P (beteckningar enligt figur 1):
Även om satsen genom sitt namn tillskrives Giovanni Ceva, anses den gå tillbaka till Yusuf al-Mu'taman ibn Hud, som regerade från 1081 till 1085 i det arabiska kungariket Zaragoza (1018 till 1110) och som beskrev förhållandet i Kitab al-Istikmal redan på 1000-talet.[3][4][5] Satsen är dessutom, tekniskt sett, en dual till Menelaos sats från första århundradet efter Kristus.[5][6]
Bevis
Betrakta areorna av nedanstående trianglar (beteckningar enligt figur 1):
Ur det ovanstående får vi att:
Vilket, genom att dividera uttrycken med varandra, ger:
På samma sätt får vi:
Genom att multiplicera dessa tre senaste uttrycks vänster- respektive högerled med varandra får vi:
det vill säga:
Satsen kan även bevisas trigonometriskt eller med hjälp av barycentriska koordinater, men, då det ovanstående är ett så enkelt bevis, hänvisas den intresserade till referenserna.[7]
Referenser
^Ioanne Ceva, 1678, De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio, Ludovici Montiae, Milano.