Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.
Värderummet V för en linjär avbildning
(där
och
är två vektorrum) definieras som:
![{\displaystyle V(F)=\{F({\bar {u}})\in \mathbb {V} :{\bar {u}}\in \mathbb {U} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da31cd0be68ae0d463ea29f8df990ad0b41665d7)
Det vill säga mängden av alla vektorer i
som nås av
. Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till
visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om
och
så existerar det
så att
och då gäller:
![{\displaystyle {\bar {u}}+{\bar {v}}=F({\bar {z}})+F({\bar {w}})=F({\bar {z}}+{\bar {w}})\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {v}}\in V(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142a00da148793bd8c37487739b043fa64a016ee)
![{\displaystyle \alpha {\bar {v}}=\alpha F({\bar {w}})=F(\alpha {\bar {w}})\Rightarrow \alpha {\bar {v}}\in V(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3a6ecd96dc8674b4abddf320da03ad52a84e6d)
Vilket är ekvivalent med att
är ett underrum av
.
Eftersom
och således kan skrivas på formen
där
är en bas till
så gäller även:
![{\displaystyle {\bar {v}}=F({\bar {w}})=F(x_{1}{\bar {u}}_{1}+x_{2}{\bar {u}}_{2}+...+x_{k}{\bar {u}}_{k})=x_{1}F({\bar {u}}_{1})+x_{2}F({\bar {u}}_{2})+...+x_{k}F({\bar {u}}_{k})\in \left[F({\bar {u}}_{1}),F({\bar {u}}_{2}),...,F({\bar {u}}_{k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f45120db40207a4e91d10691b6a7cc2c8580d3b)
Det vill säga att
är en linjärkombination av
och
således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att
spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris
som avbildningen
beskrivs av.
Tolkning
Om avbildningen
kan skrivas med matrisen
innebär det att ekvationen
har lösningar om och endast om
, det vill säga om
faktiskt nås av
. Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av
, där
är någon slags transform som verkar på en insignal
och ger en utsignal
t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.
Exempel
- Bestäm
om
är en ortogonalprojektion i ett plan.
Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består
av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.
- Bestäm
om
är en vridning med vinkel
kring en axel i rummet.
Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel
, således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och
utgörs helt enkelt av rummet.
- Bestäm en bas till
om
4
4 ges av matrisen
:
Lösning:
spänns upp av kolonnerna i
och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer.
(där
är kolonnerna i
) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:
, det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att
, alltså att
och
är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort.
spänner således upp
och utgör en bas för värderummet.
Se även
Referenser
- Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet