Weierstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal. Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass 1872 under sin tid som professor i Berlin.[ 1] Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen
W ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k cos ( b k π x ) {\displaystyle W(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\cos(b^{k}\pi x)} där 0 < a < 1 och ab > 1 + 3π/2 och b är ett udda heltal större än 1.[ 2]
Historia Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade emellertid skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, som dock aldrig publicerades och därför inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen.[ 2] Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.
Bevis av kontinuitet Eftersom
∑ k = 0 ∞ a k = 1 1 − a {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a^{k}={\frac {1}{1-a}}} och
| a k cos ( b k π x ) | ≤ a k {\displaystyle \left|a^{k}\cos(b^{k}\pi x)\right|\leq a^{k}} kommer funktionen att vara kontinuerlig på hela ℝ enligt Weierstrass majorantsats.[ 2]
Bevis av icke-deriverbarhet
Bevisidé Beviset, utförd enligt[ 2] , bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att
W ( x + h ) − W ( x ) h ≠ W ( x − h ) − W ( x ) − h {\displaystyle {\frac {W(x+h)-W(x)}{h}}\neq {\frac {W(x-h)-W(x)}{-h}}} Börja med att låta x 0 ∈ ℝ och m ∈ ℕ vara två godtyckliga tal.
Välj α m ∈ Z {\displaystyle \alpha _{m}\in \mathbb {Z} } så att b m x 0 − α ∈ ( − 1 2 , 1 2 ] {\displaystyle b^{m}x_{0}-\alpha \in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}
och sätt x m + 1 = b m x 0 − α m ⇔ x 0 = x m + 1 + α m b m {\displaystyle x_{m+1}=b^{m}x_{0}-\alpha _{m}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}}
y m = α m − 1 b m {\displaystyle y_{m}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}} och z m = α m + 1 b m {\displaystyle z_{m}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}} . För att visa att ym < 0 < zm görs följande beräkningar:
y m − x 0 = α m − 1 b m − x m + 1 + α m b m = − 1 − x m + 1 b m = − 1 + x m + 1 b m {\displaystyle y_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {-1-x_{m+1}}{b^{m}}}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}} z m − x 0 = α m + 1 b m − x m + 1 + α m b m = 1 − x m + 1 b m {\displaystyle z_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}} vilket ger olikheten
y m − x 0 = − 1 + x m + 1 b m < 0 < 1 − x m + 1 b m = z m − x 0 {\displaystyle y_{m}-x_{0}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}<0<{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=z_{m}-x_{0}} varför ym < 0 < zm .
Samtidigt fås att
lim m → ∞ − 1 + x m + 1 b m = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}=0} dvs ym → 0 från vänster då m → ∞ och
lim m → ∞ 1 − x m + 1 b m = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=0} dvs zm → 0 från höger då m → ∞ efter b > 1.
Uppskattning av vänsterderivatan Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i S 1 och S 2 enligt
W ( y m ) − W ( x 0 ) y m − x 0 = ∑ n = 0 ∞ ( a n cos ( b n π y m ) − cos ( b n π x 0 ) y m − x 0 ) = {\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=} ∑ n = 0 m − 1 ( ( a b ) n cos ( b n π y m ) − cos ( b n π x 0 ) b n ( y m − x 0 ) ) + ∑ n = 0 ∞ ( a m + n cos ( b m + n π y m ) − cos ( b m + n π x 0 ) y m − x 0 ) = S 1 + S 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=S_{1}+S_{2}} Där alltså S 1 är summan av kvoterna från n = 0 till n = m - 1 och S 2 är summan av kvoterna från n = m till oändligheten. S 1 och S 2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S 1 uppåt och S 2 nedåt.
Uppskattning av S 1 S 1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln cos ( α ) − cos ( β ) = − 2 sin ( α + β 2 ) sin ( α − β 2 ) {\displaystyle \cos(\alpha )-\cos(\beta )=-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})}
samt det faktum att | sin ( x ) x | ≤ 1 {\displaystyle \left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\leq 1} .
| S 1 | = | ∑ n = 0 m − 1 ( ( a b ) n cos ( b n π y m ) − cos ( b n π x 0 ) b n ( y m − x 0 ) ) | = | ∑ n = 0 m − 1 ( − ( a b ) n 1 b n ( y m − x 0 ) sin ( b n π y m + b n π x 0 2 ) sin ( b n π y m − b n π x 0 2 ) ) | {\displaystyle \left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|}
= | ∑ n = 0 m − 1 ( − π ( a b ) n sin ( b n π ( y m + x 0 ) 2 ) sin ( b n π ( y m − x 0 ) 2 ) b n π ( y m − x 0 ) 2 ) | ≤ ∑ n = 0 m − 1 π ( a b ) n = π ( a b ) m − 1 a b − 1 ≤ π ( a b ) m a b − 1 {\displaystyle =\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}}
Uppskattning av S 2 S 2 kan, då b är ett udda heltal och am ∈ ℤ skrivas om enligt
cos ( b m + n π y m ) = cos ( b m + n π α m − 1 b m ) = cos ( b n ( α m − 1 ) π ) {\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi y_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}-1)\pi )} och
= ( ( − 1 ) b n ) α m − 1 = ( − 1 ) α m − 1 = ( − 1 ) α m ( − 1 ) = − ( − 1 ) α m {\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}}(-1)=-(-1)^{\alpha _{m}}} vilket ger
cos ( b m + n π x 0 ) = cos ( b m + n π α m + x m + 1 b m = cos ( b n π ( α m + x m + 1 ) ) {\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi x_{0})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+x_{m+1}}{b^{m}}}=\cos(b^{n}\pi (\alpha _{m}+x_{m+1}))} = cos ( b n π α m ) cos ( b n π x m + 1 ) − sin ( b n π α m ) sin ( b n π x m + 1 ) {\displaystyle =\cos \left(b^{n}\pi \alpha _{m}\right)\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-\sin(b^{n}\pi \alpha _{m})\sin(b^{n}\pi x_{m+1})} = ( ( − 1 ) b n ) α m cos ( b n π x m + 1 ) − 0 ⋅ sin ( b n π x m + 1 {\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-0\cdot \sin(b^{n}\pi x_{m+1}} = ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) {\displaystyle =(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})} . Vi får alltså att
S 2 = ∑ n = 0 ∞ ( a m + n cos ( b m + n π y m ) − cos ( b m + n π x 0 ) y m − x 0 ) = ∑ n = 0 ∞ ( a m + n − ( − 1 ) α m − ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) y m − x 0 ) {\displaystyle S_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{y_{m}-x_{0}}}\right)} = ∑ n = 0 ∞ ( a m ⋅ a n − ( − 1 ) α m − ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) − 1 + x m + 1 b m ) = ( a b ) m ( − 1 ) α m ∑ n = 0 ∞ a n 1 + cos ( b n π x m + 1 ) 1 + x m + 1 {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}} . I och med att x m + 1 ∈ ( − 1 2 , 1 2 ] {\displaystyle x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]} och cos ( b n π x m + 1 ) ≥ − 1 {\displaystyle \cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1}
är alla termer positiva vilket ger att
∑ n = 0 ∞ 1 + cos ( b n π x m + 1 ) 1 + x m + 1 ≥ 1 + cos ( π x m + 1 ) 1 + x m + 1 ≥ 1 1 + 1 2 = 2 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}} .
Resultat Uppskattningarna av S 1 och S 2 ger att det existerar ett ε 1 ∈ [-1,1] och η 1 > 1 så att
W ( y m ) − W ( x 0 ) y m − x 0 = ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 2 3 + ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 ϵ 1 π a b − 1 {\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}{\frac {2}{3}}+(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}} ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 ( 2 3 + ϵ 1 π a b − 1 ) {\displaystyle (-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)} .
Uppskattning av högerderivatan Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt
W ( z m ) − W ( x 0 ) z m − x 0 = ∑ n = 0 ∞ ( a n cos ( b n π z m ) − cos ( b n π x 0 ) z m − x 0 ) = {\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=} ∑ n = 0 m − 1 ( ( a b ) n cos ( b n π z m ) − cos ( b n π z 0 ) b n ( z m − x 0 ) ) + ∑ n = 0 ∞ ( a m + n cos ( b m + n π z m ) − cos ( b m + n π x 0 ) z m − x 0 ) = S 1 ′ + S 2 ′ {\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi z_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=S'_{1}+S'_{2}}
Uppskattning av S’ 1 S’ 1 skrivs om på samma sätt som S 1 .
| S 1 ′ | = | ∑ n = 0 m − 1 ( ( a b ) n cos ( b n π z m ) − cos ( b n π x 0 ) b n ( z m − x 0 ) ) | = | ∑ n = 0 m − 1 ( − ( a b ) n 1 b n ( z m − x 0 ) sin ( b n π z m + b n π x 0 2 ) sin ( b n π z m − b n π x 0 2 ) ) | {\displaystyle \left|S'_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|} = | ∑ n = 0 m − 1 ( − π ( a b ) n sin ( b n π ( z m + x 0 ) 2 ) sin ( b n π ( z m − x 0 ) 2 ) b n π ( z m − x 0 ) 2 ) | ≤ ∑ n = 0 m − 1 π ( a b ) n = π ( a b ) m − 1 a b − 1 ≤ π ( a b ) m a b − 1 {\displaystyle =\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}}
Uppskattning av S’ 2 S’ 2 kan uppskattas på samma sätt som S 2 enligt nedan.
cos ( b m + n π z m ) = cos ( b m + n π α m + 1 b m ) = cos ( b n ( α m + 1 ) π ) {\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi z_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}+1)\pi )} = ( ( − 1 ) b n ) α m + 1 = ( − 1 ) α m + 1 = − ( − 1 ) α m {\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}+1}=(-1)^{\alpha _{m}+1}=-(-1)^{\alpha _{m}}} Från beräkningen av S 2 fås även att
cos ( b m + n π x 0 ) = ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) {\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi x_{0})=(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})} vilket ger att
S 2 ′ = ∑ n = 0 ∞ ( a m + n cos ( b m + n π z m ) − cos ( b m + n π x 0 ) z m − x 0 ) = ∑ n = 0 ∞ ( a m + n − ( − 1 ) α m − ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) z m − x 0 ) {\displaystyle S'_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{z_{m}-x_{0}}}\right)} = ∑ n = 0 ∞ ( a m ⋅ a n − ( − 1 ) α m − ( − 1 ) α m cos ( b n π x m + 1 ) − 1 − x m + 1 b m ) = − ( a b ) m ( − 1 ) α m ∑ n = 0 ∞ a n 1 + cos ( b n π x m + 1 ) 1 − x m + 1 {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=-(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}} . I och med att x m + 1 ∈ ( − 1 2 , 1 2 ] {\displaystyle x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]} och cos ( b n π x m + 1 ) ≥ − 1 {\displaystyle \cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1}
är alla termer positiva vilket ger att
∑ n = 0 ∞ 1 + cos ( b n π x m + 1 ) 1 − x m + 1 ≥ 1 + cos ( π x m + 1 ) 1 − x m + 1 ≥ 1 1 − ( − 1 2 ) = 2 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2}{3}}} .
Resultat Uppskattningarna av S’ 1 och S’ 2 ger att det existerar ett ε 1 ∈ [-1,1] och η 1 > 1 så att
W ( z m ) − W ( x 0 ) z m − x 0 = − ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 ( 2 3 + ϵ 1 π a b − 1 ) {\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)}
Slutsats Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:
W ( y m ) − W ( x 0 ) y m − x 0 = ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 ( 2 3 + ϵ 1 π a b − 1 ) {\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)} W ( z m ) − W ( x 0 ) z m − x 0 = − ( − 1 ) α m ( a b ) m η 1 ( 2 3 + ϵ 1 π a b − 1 ) {\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)} Detta tillsammans med att
lim m → ∞ ( a b ) m = ∞ {\displaystyle \lim _{m\to \infty }(ab)^{m}=\infty } ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.
Noter ^ Jan Thompson & Thomas Martinsson (1991). Matematiklexikon . ISBN 91-46-16515-0 ^ [a b c d ] Thim, Johan (1 december 2003). ”Continuous NowhereDifferentiable Functions” (PDF). Luleå tekniska högskola . http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1022983/FULLTEXT01.pdf . 2003:320 CIV