Pro sonlu grup

Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Z_p, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.

Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, ${\displaystyle (I,\leq )}$ yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir ${\displaystyle {G_{i}}}$ ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan ${\displaystyle \{f_{j,i}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:

• Her ${\displaystyle i\leq j\leq k}$ için ${\displaystyle f_{k,i}=f_{j,i}\circ f_{k,j}}$
• Her ${\displaystyle i\in I}$ için ${\displaystyle f_{i,i}=id_{G_{i}}}$ (yani ${\displaystyle f_{i,i},G_{i}}$ üzerine birim fonksiyondur.)

Böyle bir sistemin projektif limiti

${\displaystyle \lim _{\leftarrow }{G_{i}}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{j,i}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}j\geq i\right\}}$

şeklinde bir küme ile tanımlanır.^[1] (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu ${\displaystyle G_{i}}$ grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca ${\displaystyle \prod G_{i}}$ çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.

Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir ${\displaystyle G}$ topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, ${\displaystyle G/N}$ bölüm gruplarının ${\displaystyle G}$ nin açık ve normal olan tüm ${\displaystyle N}$ altgrupları üzerinden projektif limiti ${\displaystyle \lim _{\leftarrow }{G/N}}$, ${\displaystyle G}$ topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla ${\displaystyle G}$ topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.^[2]

Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir ${\displaystyle G}$ grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi ${\displaystyle I=\{H\triangleleft G:H\ {\text{sonlu indeksli}}\}}$, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama ${\displaystyle N\leq N'\iff N'\subset N}$ şeklindedir. Bu durumda ${\displaystyle X=\{G/N:N\triangleleft G\ {\text{sonlu indeksli}}\}}$ kümesiyle ${\displaystyle xN'\mapsto xN}$ ile tanımlı ${\displaystyle f_{N',N}:G/N'\to G/N}$ grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine ${\displaystyle G}$ grubunun pro-sonlu tamlanışı denir ve ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,

${\displaystyle {\widehat {G}}=\lim _{\leftarrow }{G/N}=\{(g_{N})_{N\in I}\in \prod _{N\in I}G/N:\ g_{N'}\equiv g_{N}{\pmod {N}}\ \ {\text{for all}}\ N'\subset N\}}$

şeklinde verilir. Burada ${\displaystyle G}$ ile ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ arasında ${\displaystyle g\mapsto (gN)_{N}}$ ile tanımlı doğal bir ${\displaystyle \pi :G\to {\widehat {G}}}$ grup homomorfizması mevcuttur. ${\displaystyle G}$ grubunun ${\displaystyle \pi }$ altındaki imgesi ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul ${\displaystyle \bigcap _{N\in I}N=1}$ olmasıdır. Özel olarak ${\displaystyle G}$ yerine ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tamsayılar grubunu alırsak, ${\displaystyle \pi }$ homomorfizması ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tamsayılar grubunu ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.

• Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
• Toplamsal p-sel tamsayılar grubu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ olmak üzere, sonlu ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her ${\displaystyle i\leq j}$ doğal sayıları için ${\displaystyle x+p^{j}\mathbb {Z} \mapsto x+p^{i}\mathbb {Z} }$ ile tanımlı ${\displaystyle f_{j,i}:\mathbb {Z} /p^{j}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
• Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim ${\displaystyle L/K}$ bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. ${\displaystyle F/K}$ sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm ${\displaystyle K\subset F\subset L}$ ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü ${\displaystyle K}$ üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine ${\displaystyle K}$ üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her ${\displaystyle F'\subset F}$ için ${\displaystyle Gal(F/K)\to Gal(F'/K)}$, ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma |_{F'}}$ kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti ${\displaystyle Gal(L/K)}$ grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması ${\displaystyle \sigma \mapsto (\sigma |_{F})_{F}}$ ile tanımlı ${\displaystyle Gal(L/K)\to \lim _{\leftarrow }{Gal(F/K)}}$ fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji ${\displaystyle Gal(L/K)}$ grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir ${\displaystyle L/K}$ Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (Waterhouse (1974)). Ancak burada ${\displaystyle K}$ cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)

• Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır.
• Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
• Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer ${\displaystyle H}$, bir ${\displaystyle G}$ pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise ${\displaystyle G/N}$ bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
• Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
• Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.

• Pro-p grup
• Pro-sonlu tamsayılar
• p-sel sayılar
• Sonsuz Galois teorisi

• Waterhouse, William C. (1974), "Profinite groups are Galois groups", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 42 (2), ss. 639-640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031 
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF), talk given at Oberwolfach, 5 Şubat 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 26 Aralık 2018