Định lý Fenchel–Moreau

Trong giải tích lồi, định lý Fenchel–Moreau (theo tên của Werner Fenchel và Jean Jacques Moreau) phát biểu điều kiện cần và đủ để một hàm ${\displaystyle f}$ bằng với hàm song liên hợp ${\displaystyle f^{**}}$ của nó. Kết quả này trái ngược với tính chất chung rằng ${\displaystyle f^{**}\leq f}$.^[1][2] Định lý Fenchel–Moreau được ứng dụng trong lý thuyết đối ngẫu để chứng minh tính đối ngẫu mạnh (thông qua hàm nhiễu).

Cho ${\displaystyle (X,\tau )}$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff. Với hàm ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ lấy giá trị trên trục số thực mở rộng, thì ${\displaystyle f=f^{**}}$ khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. ${\displaystyle f}$ lồi, chính thường và nửa liên tục dưới;
2. ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, hoặc
3. ${\displaystyle f\equiv -\infty }$.^[1][3][4][5]