Định lý Helly

Định lý Helly là một kết quả cơ bản trong hình học rời rạc về giao của các tập hợp lồi. Nó được phát hiện bởi Eduard Helly năm 1913,^[1] nhưng chỉ được xuất bản năm 1923, khi các chứng minh khác của Radon (1921) và König (1922) đã được đăng. Định lý Helly đưa ra khái niệm gia đình Helly.

Giả sử

${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

là các tập hợp lồi trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, trong đó ${\displaystyle n>d}$. Nếu giao của mọi bộ ${\displaystyle d+1}$ tập là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng, nghĩa là

${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \varnothing .}$

Để áp dụng cho một số vô hạn các tập hợp cần có thêm tính chất compact: Nếu ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$ là các tập hợp lồi compact trong ${\displaystyle R^{d}}$ và giao của mọi bộ không quá ${\displaystyle d+1}$ tập là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng.

Ta chứng minh phiên bản hữu hạn của định lý thông qua định lý Radon như trong chứng minh của Radon (1921). Từ đó ta có phiên bản vô hạn thông qua tính chất giao hữu hạn của không gian compact: giao của một gia đình các tập hợp là khác rỗng khi và chỉ khi mọi bộ hữu hạn các tập trong gia đình đó có giao khác rỗng.

Trước hết giả sử ${\displaystyle n=d+2}$. Theo giả thuyết của định lý, tồn tại điểm ${\displaystyle x_{1}}$ nằm trong giao của

${\displaystyle X_{2},X_{3},\dots ,X_{n}.}$

Tương tự như vậy, với mọi

${\displaystyle j=2,3,\dots ,n}$

tồn tại điểm ${\displaystyle x_{j}}$ nằm trong giao của mọi ${\displaystyle X_{i}}$ ngoại trừ ${\displaystyle X_{j}}$. Ta áp dụng định lý Radon cho tập

${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.}$

Theo định lý Radon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subset A}$ sao cho bao lồi của ${\displaystyle A_{1}}$ giao với bao lồi của ${\displaystyle A_{2}}$. Giả sử ${\displaystyle p}$ là điểm nằm trong phần giao của hai bao lồi. Ta sẽ chứng minh

${\displaystyle p\in \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}.}$

Thật vậy, xét ${\displaystyle j\in \{1,2,...,n\}}$ bất kì. Phần tử duy nhất trong ${\displaystyle A}$ có thể không nằm trong ${\displaystyle X_{j}}$ là ${\displaystyle x_{j}}$. Nếu ${\displaystyle x_{j}\in A_{1}}$, thì ${\displaystyle x_{j}\notin A_{2}}$, và do đó ${\displaystyle X_{j}\supset A_{2}}$. Do ${\displaystyle X_{j}}$ lồi, nó cũng chứa bao lồi của ${\displaystyle A_{2}}$ và do đó ${\displaystyle p\in X_{j}}$. Tương tự như vậy, nếu ${\displaystyle x_{j}\notin A_{1}}$, thì ${\displaystyle X_{j}\supset A_{1}}$, và lập luận tương tự như trên, ta có ${\displaystyle p\in X_{j}}$. Do ${\displaystyle p}$ nằm trong mọi ${\displaystyle X_{j}}$, nó nằm trong giao của chúng.

Ở trên ta giả sử ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ là các điểm khác nhau. Nếu điều này không đúng, chẳng hạn ${\displaystyle x_{i}=x_{k}}$ cho hai số ${\displaystyle i\neq k}$ nào đó, thì ${\displaystyle x_{i}}$ nằm trong mọi tập ${\displaystyle X_{j}}$, và ta cũng kết luận giao của tất cả các tập hợp là khác rỗng. Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp ${\displaystyle n=d+2}$.

Giả sử ${\displaystyle n>d+2}$ và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho ${\displaystyle n-1}$. Chứng minh trên cho thấy mọi bộ ${\displaystyle d+2}$ tập có giao khác rỗng. Ta xét một gia đình các tập hợp mới trong đó ${\displaystyle X_{n-1}}$ và ${\displaystyle X_{n}}$ được thay bằng

${\displaystyle X_{n-1}\cap X_{n}.}$

Trong gia đình mới này, giao của mọi bộ ${\displaystyle d+1}$ tập là khác rỗng. Theo giả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng. Do đó, giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng khác rỗng.

• Định lý Carathéodory
• Bổ đề Shapley–Folkman
• Định lý Krein–Milman
• Lý thuyết Choquet
• Định lý Radon

• Bollobás, B. (2006), “Problem 29, Intersecting Convex Sets: Helly's Theorem”, The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press, tr. 90–91, ISBN 0521693950.
• Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), “Helly's theorem and its relatives”, Convexity, Proc. Symp. Pure Math., 7, American Mathematical Society, tr. 101–179.
• Eckhoff, J. (1993), “Helly, Radon, and Carathéodory type theorems”, Handbook of Convex Geometry, A, B, Amsterdam: North-Holland, tr. 389–448.
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, tr. 137, Krieger, Huntington ISBN 0882753681.
• Helly, E. (1923), “Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten”, Jahresbericht Deutsch. Math. Vereining., 32: 175–176.
• König, D. (1922), “Über konvexe Körper”, Mathematische Zeitschrift, 14 (1): 208–220, doi:10.1007/BF01215899.
• Radon, J. (1921), “Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten”, Mathematische Annalen, 83 (1–2): 113–115, doi:10.1007/BF01464231.