Hàm lồi chính thường

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm ${\displaystyle f}$ lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

${\displaystyle f(x)<+\infty }$

tại ít nhất một giá trị ${\displaystyle x}$ và

${\displaystyle f(x)>-\infty }$

với mọi ${\displaystyle x}$. Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị ${\displaystyle -\infty }$.^[1][2] Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).^[3]

Hàm lõm chính thường là một hàm ${\displaystyle g}$ sao cho ${\displaystyle f=-g}$ là hàm lồi chính thường.

Với mọi hàm lồi chính thường ${\displaystyle f}$ trên ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, thì tồn tại ${\displaystyle b}$ thuộc ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ và ${\displaystyle \beta }$ thuộc ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sao cho

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }$

với mọi ${\displaystyle x}$.

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường.^[2][4] Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng ${\displaystyle A\subset X}$ và ${\displaystyle B\subset X}$ trong không gian vectơ ${\displaystyle X}$, hai hàm chỉ thị ${\displaystyle I_{A}}$ và ${\displaystyle I_{B}}$ đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ thì ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ luôn bằng ${\displaystyle +\infty }$.

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.^[2][5]

Bài viết liên quan đến giải tích toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s