Monoid-Objekt
Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.
Definition
Es sei eine monoidale Kategorie mit dem Funktor , dem Einheitsobjekt , der natürlichen Transformation mit den Komponenten , sowie den natürlichen Transformationen und gegeben.
Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt zusammen mit zwei Pfeilen und , für die die Gleichungen
- ,
- und
gelten.
Beispiele
- Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
- Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
- In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
- Ist eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in sind Monaden.
Literatur
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f.
Einordnung |
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Konstruktionen |
Kan-Erweiterung | Monade | Komonade | Kategorie der Elemente | Kommakategorie | Pfeilkategorie | Homotopie-Kategorie | ||||||||
Resultate | Lemma von Yoneda | Fixpunktsatz von Lawvere | Einbettungssatz von Mitchell | ||||||||
Spezielle Funktoren | Hom-Funktor | Potenzmengenfunktor | Diagonalfunktor | Ext | Tor |