Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Es seien ${\displaystyle C}$ eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und ${\displaystyle A}$ ein Objekt aus ${\displaystyle C}$. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

projektive Auflösung von ${\displaystyle A}$, wenn sämtliche ${\displaystyle P_{i}}$ projektiv sind.^[1][2]

Sind alle ${\displaystyle P_{j}}$ sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Ist in der abelschen Kategorie ${\displaystyle C}$ jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)}$ einen Epimorphismus ${\displaystyle P\rightarrow X}$, in dem ${\displaystyle P}$ projektiv ist, so sagt man auch, ${\displaystyle C}$ besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt ${\displaystyle A}$ eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{0}\colon P_{0}\rightarrow A}$, dann weiter ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{1}\colon P_{1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{0})}$ auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter ${\displaystyle p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{n})}$.

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ der (Links-)Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$. Ist ${\displaystyle A}$ ein solcher Modul und ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle R^{I}\rightarrow A}$, indem man das ${\displaystyle i}$-te Basiselement des freien Moduls ${\displaystyle R^{I}}$ auf ${\displaystyle a_{i}}$ abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist ${\displaystyle A}$ Quotient eines projektiven Moduls und damit hat ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ genügend viele projektive Objekte.^[3]

Ist

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

eine projektive Auflösung und

${\displaystyle \cdots \rightarrow A'_{2}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'\rightarrow 0}$

exakt, so lässt sich jeder ${\displaystyle C}$-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A'}$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \rightarrow &P_{2}&\rightarrow &P_{1}&\rightarrow &P_{0}&\rightarrow &A&\rightarrow 0\\\cdots &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots \rightarrow &A'_{2}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'&\rightarrow 0\end{matrix}}}$

ergänzen.^[4]

• Der duale Begriff ist der der injektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden projektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
• Fundamentallemma der homologischen Algebra
• Lemma von Schanuel

1. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen
2. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5
3. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7
4. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung