Uogólniona macierz odwrotna

Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: inne metody uogólniania pojęcia macierzy odwrotnej. Jest ich kilka, a artykuł opisuje tylko jedną z nich. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore’a i Penrose’a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja

Niech ${\displaystyle A}$ będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz ${\displaystyle B}$ nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do ${\displaystyle A,}$ jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

• ${\displaystyle ABA=A,}$
• ${\displaystyle BAB=B,}$
• ${\displaystyle (AB)^{\star }=AB,}$
• ${\displaystyle (BA)^{\star }=BA,}$

gdzie ${\displaystyle {}^{\star }}$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

${\displaystyle B=\lim _{\delta \to 0}(A^{\star }A+\delta I)^{-1}A^{\star }=\lim _{\delta \to 0}A^{\star }(AA^{\star }+\delta I)^{-1}.}$

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze ${\displaystyle \left(AA^{\star }\right)^{-1}}$ oraz ${\displaystyle \left(A^{\star }A\right)^{-1}}$ nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz ${\displaystyle B}$ jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez ${\displaystyle A^{+}.}$

Własności

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

• Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją

  ${\displaystyle \left(A^{+}\right)^{+}=A.}$

• Zachodzą następujące przemienności

  ${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{T}}$ (z transpozycją),

  ${\displaystyle \left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {\left(A^{+}\right)}}}$ (ze sprzężeniem trywialnym),

  ${\displaystyle \left(A^{\star }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\star }}$ (ze sprzężeniem hermitowskim).

• Dla każdego ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ zachodzi równość

  ${\displaystyle \left(\alpha A\right)^{+}={\tfrac {1}{\alpha }}A^{+}.}$

Zobacz też

• macierz odwrotna