Micul rombidodecaedru

Micul rombidodecaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	42 (30 pătrate, 12 decagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−18
Configurația vârfului	4.10.4/3.10/9[1]
Simbol Wythoff	2 5 (3/2 5/2) |[1]
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă triunghiuri) (acoperire dublă pentagoane)
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	≈41,615 a3   (a = latura)
Poliedru dual	micul rombidodecacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul rombidodecaedru este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₃₉. Are 42 de fețe (30 de pătrate și 12 decagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 42 de fețe, este un tetracontadiedru.

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin (cu acoperire dublă a triunghiurilor), respectiv (cu acoperire dublă a pentagoanelor). Figura vârfului este un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 2 5 (3/2 5/2) |.^[1]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui rombicosidodecaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările pare ale:^[2][3]

${\displaystyle \left(\,(1+2\varphi ),\,\pm 1,\,\pm 1\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (1+\varphi ),\,\pm (2+\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm \varphi ,\,\pm \varphi ,\,\pm (1+\varphi )\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise este distanța comună a vârfurilor față de origine, și anume ${\displaystyle {\sqrt {\varphi ^{6}+2}}={\sqrt {8\varphi +7}}}$ pentru lungimea laturii egală cu 2. Pentru lungimea laturii a, această valoare devine:^[4]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {8\varphi +7}}{2}}\,a={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}\,a\approx 2,232951\,a.}$

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=\left(20+{\frac {29}{3}}{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 41,615324\,a^{3}}$

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu micul dodecaedru trunchiat stelat, compusul de șase prisme pentagramice și compusul de douăsprezece prisme pentagramice. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu rombicosidodecaedrul (având fețele pătrate în comun) și cu micul dodecicosidodecaedru (având fețele decagonale în comun).

Rombicosidodecaedru	Micul dodecicosidodecaedru	Micul rombidodecaedru
Micul dodecaedru trunchiat stelat	Compus de șase prisme pentagramice	Compus de douăsprezece prisme pentagramice

Dualul său este micul rombidodecacron.^[5]

• Lista poliedrelor uniforme

• en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: sird