Stetiger Funktionalkalkül

In der Mathematik, insbesondere in der Operatortheorie und der Theorie der C*-Algebren, ermöglicht der stetige Funktionalkalkül die Anwendung einer stetigen Funktion auf normale Elemente einer C*-Algebra.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.

Will man den natürlichen Funktionalkalkül für Polynome auf dem Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ eines Elements ${\displaystyle a}$ einer Banachalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ zu einem Funktionalkalkül für stetige Funktionen ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ auf dem Spektrum erweitern, so liegt es nahe, eine stetige Funktion gemäß dem Satz von Stone-Weierstraß durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass diese Folge von Elementen in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ konvergiert. Die stetigen Funktionen auf ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ werden von Polynomen in ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle {\overline {z}}}$ approximiert, das heißt von Polynomen der Form ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {z}}}$ die komplexe Konjugation, welche eine Involution auf den komplexen Zahlen ist. Damit man nun ${\displaystyle a}$ an Stelle von ${\displaystyle z}$ in ein solches Polynom einsetzen kann, betrachtet man Banach-*-Algebren, also Banachalgebren, die ebenfalls eine Involution * haben, und setzt ${\displaystyle a^{*}}$ an die Stelle von ${\displaystyle {\overline {z}}}$. Um einen Homomorphismus ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ zu erhalten, muss man sich auf normale Elemente einschränken, also Elemente mit ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$, da der Polynomring ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ kommutativ ist. Ist nun ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ eine Folge von Polynomen, die auf ${\displaystyle \sigma (a)}$ gleichmäßig gegen eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert, so ist noch die Konvergenz der Folge ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gegen ein Element ${\displaystyle f(a)}$ sicherzustellen. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

Satz (Stetiger Funktionalkalkül).

Sei ${\displaystyle a}$ ein normales Element der C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mit Einselement ${\displaystyle e}$ und sei ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle \sigma (a)}$, dem Spektrum von ${\displaystyle a}$. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus ${\displaystyle \Phi _{a}\colon C(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ für ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ und ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$ für die Identität.

Die Abbildung ${\displaystyle \Phi _{a}}$ heißt der stetige Funktionalkalkül zum normalen Element ${\displaystyle a}$. Üblicherweise setzt man suggestiv ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$.

Durch die *-Homomorphie-Eigenschaft gelten für alle Funktionen ${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$ und Skalare ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ die folgenden Rechenregeln:

Man kann sich also vorstellen, die normalen Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ arbeiten. Ist dann ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ mit ${\displaystyle f(0)=0}$, so gilt ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ und ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$.

Die Existenz und die Eindeutigkeit des stetigen Funktionalkalküls beweist man getrennt:

• Existenz: Da das Spektrum von ${\displaystyle a}$ in der von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle e}$ erzeugten C*-Unteralgebra ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ dasselbe ist, wie in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ genügt es die Aussage für ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ zu zeigen. Die eigentliche Konstruktion des stetigen Funktionalkalküls erfolgt anschließend unter Verwendung der Inversen Gelfand-Transformation.

• Eindeutigkeit: Da ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ und ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ festgelegt sind, ist ${\displaystyle \Phi _{a}}$ bereits für alle Polynome ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ eindeutig festgelegt, da ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ein *-Homomorphismus ist. Diese bilden nach dem Satz von Stone-Weierstraß eine dichte Unteralgebra von ${\displaystyle C(\sigma (a))}$. Damit ist ${\displaystyle \Phi _{a}}$ insgesamt eindeutig.

In der Funktionalanalysis ist man häufig am stetigen Funktionalkalkül für einen normale Operatoren ${\displaystyle T}$ interessiert, das heißt an dem Fall, dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist. Häufig wird in der Literatur der stetige Funktionalkalkül in diesem Setting sogar nur für selbstadjungierte Operatoren bewiesen. Der Beweis kommt in diesem Fall ohne die Gelfand-Transformation aus.^[1]

Der stetige Funktionalkalkül ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle e}$ erzeugte C*-Unteralgebra ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$, das heißt:

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$ für alle ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$; ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ist somit stetig.
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

Da ${\displaystyle a}$ ein normales Element von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist, ist die von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle e}$ erzeugte C*-Unteralgebra kommutativ. Insbesondere ist ${\displaystyle f(a)}$ normal und alle Elemente eines Funktionalkalküls kommutieren.

Der holomorphe Funktionalkalkül wird vom stetigen Funktionalkalkül in eindeutiger Weise fortgesetzt.^[2] Daher stimmt für Polynome ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ der stetige Funktionalkalkül mit dem natürlichen Funktionalkalkül für Polynome überein: ${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$ für alle ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ mit ${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$.

Für eine Folge von Funktionen ${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$, die auf ${\displaystyle \sigma (a)}$ gleichmäßig gegen eine Funktion ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ konvergiert, konvergiert ${\displaystyle f_{n}(a)}$ gegen ${\displaystyle f(a)}$.^[3] Für eine Potenzreihe ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$, die auf ${\displaystyle \sigma (a)}$ absolut gleichmäßig konvergiert, gilt daher ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$.^[4]

Sind ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ und ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$, so gilt für deren Komposition ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$. Sind ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ zwei normale Elemente mit ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ und ist ${\displaystyle g}$ sowohl auf ${\displaystyle \sigma (a)}$ als auch ${\displaystyle \sigma (b)}$ die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$, so ist bereits ${\displaystyle a=b}$, da ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$.

Es gilt der spektrale Abbildungssatz: ${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$ für alle ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$.

Gilt ${\displaystyle ab=ba}$ für ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$, so gilt auch ${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$ für alle ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$, das heißt wenn ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle a}$ kommutiert, dann auch mit den zugehörigen Elementen des stetigen Funktionalkalküls ${\displaystyle f(a)}$.

Sei ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ein unitärer *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Dann kommutiert ${\displaystyle \Psi }$ mit dem stetigen Funktionalkalkül. Es gilt: ${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$ für alle ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$. Insbesondere kommutiert der stetige Funktionalkalkül mit der Gelfand-Transformation.

Mit dem spektralen Abbildungssatz lassen sich Funktionen mit bestimmten Eigenschaften direkt mit bestimmten Eigenschaften von Elementen von C*-Algebren in Verbindung bringen:

• ${\displaystyle f(a)}$ ist genau dann invertierbar, wenn ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \sigma (a)}$ keine Nullstelle hat.^[5] Dann ist ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$.^[6]
• ${\displaystyle f(a)}$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn ${\displaystyle f}$ reellwertig, also ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$ ist.
• ${\displaystyle f(a)}$ ist genau dann positiv (${\displaystyle f(a)\geq 0}$), wenn ${\displaystyle f\geq 0}$, also ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$ ist.
• ${\displaystyle f(a)}$ ist genau dann unitär, wenn alle Werte von ${\displaystyle f}$ in der Kreisgruppe liegen, also ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$ ist.
• ${\displaystyle f(a)}$ ist genau dann eine Projektion, wenn ${\displaystyle f}$ nur die Werte ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ annimmt, also ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$ ist.

Diese gehen auf Aussagen über das Spektrum bestimmter Elemente zurück, welche im Abschnitt Anwendungen dargestellt sind.

Im speziellen Fall, dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die C*-Algebra der beschränkten Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ für einen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist, sind Eigenvektoren ${\displaystyle v\in H}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ eines normalen Operators ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ auch Eigenvektoren zum Eigenwert ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ des Operators ${\displaystyle f(T)}$. Gilt also ${\displaystyle Tv=\lambda v}$, so gilt auch ${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$ für alle ${\displaystyle f\in \sigma (T)}$.^[7]

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls:

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element. Dann gilt für das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$:

• ${\displaystyle a}$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle a}$ ist genau dann unitär, wenn ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$.
• ${\displaystyle a}$ ist genau dann eine Projektion, wenn ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$.

Beweis. Der stetige Funktionalkalkül ${\displaystyle \Phi _{a}}$ zum normalen Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ist ein *-Homomorphismus mit ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$ und somit ist ${\displaystyle a}$ selbstadjungiert/unitär/eine Projektion, wenn ${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$ ebenfalls selbstadjungiert/unitär/eine Projektion ist. Genau dann ist ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ selbstadjungiert, wenn ${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$ für alle ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ gilt, also wenn ${\displaystyle \sigma (a)}$ reell ist. Genau dann ist ${\displaystyle {\text{Id}}}$ unitär, wenn ${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$ für alle ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ gilt, also ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$. Genau dann ist ${\displaystyle {\text{Id}}}$ eine Projektion, wenn ${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$, d. h. ${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$ für alle ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$, also ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$.

Sei ${\displaystyle a}$ ein positives Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dann existiert für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ein eindeutig bestimmtes positives Element ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ mit ${\displaystyle b^{n}=a}$, das heißt eine eindeutige ${\displaystyle n}$-te Wurzel.

Beweis. Für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist die Wurzelfunktion ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ eine stetige Funktion auf ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$. Sei ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ mittels stetigem Funktionalkalkül definiert, dann folgt aus den Eigenschaften des Kalküls ${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$. Aus dem spektralen Abbildungssatz folgt ${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$, das heißt ${\displaystyle b}$ ist positiv. Sei ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ein weiteres positives Element mit ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$, so gilt ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$, da die Wurzelfunktion auf den positiven reellen Zahlen eine Umkehrfunktion zur Funktion ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ ist.

Ist ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ein selbstadjungiertes Element, dann existiert zumindest für jedes ungerade ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ein eindeutig bestimmtes selbstadjungiertes Element ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ mit ${\displaystyle b^{n}=a}$.^[8]

Ebenso definiert für ein positives Element ${\displaystyle a}$ einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jedes ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ein eindeutig bestimmtes positives Element ${\displaystyle a^{\alpha }}$ von ${\displaystyle C^{*}(a)}$, sodass ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ für alle ${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$ gilt. Falls ${\displaystyle a}$ invertierbar ist, lässt sich dies auch auf negative Werte von ${\displaystyle \alpha }$ fortsetzen.

Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, dann ist das Element ${\displaystyle a^{*}a}$ positiv, sodass der Betrag durch den stetigen Funktionalkalkül definiert werden kann ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$, da dieser auf den positiven reellen Zahlen stetig ist.^[9]

Sei ${\displaystyle a}$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, dann existieren positive Elemente ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$, sodass ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ mit ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ gilt. Man bezeichnet ${\displaystyle a_{+}}$ und ${\displaystyle a_{-}}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$.

Beweis. Die Funktionen ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ und ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ sind stetige Funktionen auf ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$ und ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$. Setze ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$ und ${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$. Nach dem spektralen Abbildungssatz sind ${\displaystyle a_{+}}$ und ${\displaystyle a_{-}}$ positive Elemente und es gilt ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$ und ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$. Weiterhin gilt ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$, sodass ${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$ gilt.

Ist ${\displaystyle a}$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mit Einselement ${\displaystyle e}$, so ist ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ unitär, wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Ist umgekehrt ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ ein unitäres Element, mit der Einschränkung, dass das Spektrum eine echte Teilmenge des Einheitskreises ist, also ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$, so existiert ein selbstadjungiertes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ mit ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$.

Beweis. Es ist ${\displaystyle u=f(a)}$ mit ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$, denn da ${\displaystyle a}$ selbstadjungiert ist, folgt ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$, das heißt ${\displaystyle f}$ ist eine Funktion auf dem Spektrum von ${\displaystyle a}$. Da ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ folgt mittels Funktionalkalkül ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$, das heißt ${\displaystyle u}$ ist unitär. Da für die andere Aussage ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$ existiert, sodass ${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$ ist die Funktion ${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$ für ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$ eine reellwertige stetige Funktion auf dem Spektrum ${\displaystyle \sigma (u)}$, sodass ${\displaystyle a=f(u)}$ ein selbstadjungiertes Element ist, das ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$ erfüllt.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine unitäre C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element. Das Spektrum bestehe aus ${\displaystyle n}$ paarweise disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$ für alle ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, also ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$. Dann existieren Projektionen ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$, die für alle ${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$ die folgenden Eigenschaften besitzen^[10]:

• Für das Spektrum gilt ${\displaystyle \sigma (ap_{k})=\sigma _{k}}$.
• Die Projektionen kommutieren mit ${\displaystyle a}$, also ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$.
• Die Projektionen sind orthogonal, also ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$.
• Die Summe der Projektionen ist das Einselement, also ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$.

Insbesondere existiert eine Zerlegung ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ für die ${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$ für alle ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ gilt.

Beweis.^[10] Da die ${\displaystyle \sigma _{k}}$ alle abgeschlossen sind, sind die charakteristischen Funktionen ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ stetig auf ${\displaystyle \sigma (a)}$. Sei nun ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ mithilfe des stetigen Funktionalkalküls definiert. Da die ${\displaystyle \sigma _{k}}$ paarweise disjunkt sind gilt ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$ und somit erfüllen die ${\displaystyle p_{k}}$ die geforderten Eigenschaften, wie sich wiederum aus den Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ergibt. Für die letzte Aussage setzt man ${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$.

• Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars, Paris, 1969.
• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Heidelberg/Berlin, 1979, ISBN 3-540-90391-7.

1. ↑ Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222–223.
2. ↑ Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-72475-1, S. 147.
3. ↑ Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.
4. ↑ Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis. Second Edition. Springer, 2014, ISBN 978-3-319-05791-0, S. 55.
5. ↑ Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 332.
6. ↑ Konrad Schmüdgen: Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. Springer, 2012, ISBN 978-94-007-4752-4, S. 93.
7. ↑ Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222.
8. ↑ Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 64–65.
9. ↑ Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.
10. ↑ ^{a b} Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 375.