Birotonda pentagonale giroelongata

Birotonda pentagonale giroelongata
Tipo	Solido di Johnson J47 - J48 - J49
Forma facce	4×10 Triangoli 2+10 Pentagoni
Nº facce	52
Nº spigoli	90
Nº vertici	40
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	2x10(3.5.3.5) 2.10(34.5)
Gruppo di simmetria	D5
Proprietà	Convessità, chiralità
Sviluppo piano
Manuale

In geometria solida, la birotonda pentagonale giroelongata è un poliedro con 52 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, allungando una birotonda pentagonale, sia essa un'ortobirotonda pentagonale o una girobirotonda pentagonale, meglio nota come icosidodecaedro, inserendo un'antiprisma decagonale tra la due rotonde pentagonali che la compongono.

Se tutte le sue facce sono poligoni regolari una birotonda pentagonale giroelongata è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₄₈, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi.^[1]

Tale birotonda è uno dei cinque solidi di Johnson chirali, vale a dire che di essa esiste sia una versione sinistrorsa, sia una versione destrorsa. In una delle versioni, ogni faccia pentagonale della metà inferiore del poliedro è connessa a una delle facce pentagonali nella parte superiore a destra di essa attraverso due triangoli, nella versione con chiralità opposta, invece, ogni faccia pentagonale della metà inferiore è connessa, sempre attraverso due triangoli, a una faccia pentagonale posta nella metà superiore a sinistra di essa. Le due forme chirali non sono considerate due solidi di Johnson diversi.

Per quanto riguarda i 40 vertici di questo poliedro, su 20 di essi incidono due facce pentagonali e due triangolari, mentre sugli altri 20 incidono una faccia pentagonale e quattro triangolari.

Considerando una birotonda pentagonale giroelongata avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza ${\displaystyle a}$, le formule per il calcolo del volume ${\displaystyle V}$ e della superficie ${\displaystyle A}$ risultano essere:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+5{\sqrt {2\left({\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)}}\right)\approx 20,5848138\ldots a^{3};}$

${\displaystyle A=\left(10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 37,9662369\ldots a^{2}.}$

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Birotonda pentagonale giroelongata

• (EN) Eric W. Weisstein, Birotonda pentagonale giroelongata, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica