Costante di Gauss
Costante di Gauss | |
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Simbolo | G |
Valore | 0,8346268416740731862814297327990468... (sequenza A014549 dell'OEIS) |
Origine del nome | Carl Friedrich Gauss |
Frazione continua | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...] (sequenza A053002 dell'OEIS) |
Insieme | numeri trascendenti |
In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera , è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e :
La costante prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:
e quindi:
dove indica la funzione beta di Eulero.
La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.
Relazioni con altre costanti
La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione gamma per 1/4:
e, dato che e sono algebricamente indipendenti, con irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.
Costanti delle lemniscate
La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:
e la seconda:
che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.
Altre formule
La seguente è una formula che esprime in relazione alla funzione theta di Jacobi:
così come la seguente serie, rapidamente convergente:
La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:
La costante di Gauss ha come frazione continua [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gauss, su MathWorld, Wolfram Research.