Insieme nullo (teoria della misura)
Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi -nulli per la data misura .
Definizione
Sia uno spazio misurabile, sia una misura su , e sia un insieme misurabile in . Se è una misura positiva, allora è nullo se e solo se . Se non è una misura positiva, allora è -nullo se è -nullo, dove è la variazione totale di ; questo è più forte che richiedere .
Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.
Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.
Proprietà
L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi -nulli di formano un sigma-ideale su . Allo stesso modo gli insiemi -nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.
Nella misura di Lebesgue
Per la misura di Lebesgue su , tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in . L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in .
Più in generale, un sottoinsieme è nullo se e solo se:
- Dato un qualsiasi numero positivo , esiste una successione di intervalli tali che è contenuto nell'unione degli e la lunghezza totale degli è minore di .
Questa condizione può essere generalizzata a , usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.
Applicazioni
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- Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
- Uno spazio di misura in cui tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.
Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.
Bibliografia
- Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) null set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Insieme nullo, su MathWorld, Wolfram Research.
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